Pertumbuhan Eksponensial: Membedah Siklus Bakteri

Membedah Anatomi Rumus Pertumbuhan

Pernahkah kamu melihat rumus panjang seperti $P(t) = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}}$ dan merasa itu cuma deretan angka dan huruf abstrak? Sebenarnya, matematika sedang "bercerita" tentang kehidupan sekumpulan bakteri.

Daripada dihafal sebagai rumus mati, mari kita bedah anatomi fungsi pertumbuhan eksponensial, yang selalu memiliki bentuk umum $P(t) = A \cdot B^t$.

Coba kamu geser-geser nilai $A$ dan $B$ pada grafik di atas. Perhatikan apa yang terjadi:

Titik awal (Modal Awal): Angka $500$ yang berada di depan pangkat adalah nilai mutlak. Ini mewakili jumlah mula-mula bakteri sebelum waktu berjalan (saat stopwatch masih di angka $t=0$). Kalau kamu geser $A$, garis grafiknya akan mulai dari posisi y (ketinggian) yang berbeda.
Faktor Pengganda (Kecepatan): Angka $2$ (basis dari pangkat) adalah faktor pengali. Angka ini bercerita bahwa populasi bakteri ini tidak sekadar bertambah (+), melainkan berlipat ganda ($\times 2$) setiap kali melewati satu siklus hidupnya.

Mari kita uji pemahamanmu tentang anatomi posisi angka ini!

Jika sebuah populasi serangga memiliki fungsi P(t) = 1500 * (3)^(t/2), berapakah jumlah populasi mula-mula serangga tersebut sebelum waktu berjalan?

A. 3
B. 500
C. 1500
D. 4500

Jawaban: C. 1500

Angka di depan basis eksponen (1500) mewakili nilai awal saat t=0. Karena 3^0 = 1, maka populasinya adalah 1500.

Angka pengali di luar pangkat eksponensial selalu mewakili nilai awal atau populasi mula-mula.

Misteri Pangkat Pecahan (t/3)

Kamu mungkin bertanya-tanya, kalau bakteri itu jumlahnya dikalikan 2, kenapa pangkatnya harus pecahan $\frac{t}{3}$? Kenapa tidak $t$ saja?

Di sinilah banyak orang sering terjebak. Banyak yang keliru mengira populasi bakteri akan dikali 2 setiap 1 jam. Padahal, pembelahan sel butuh proses!

Gambar: Mcstrother, CC BY 3.0 — Wikimedia Commons

Makna fisis dari pangkat $\frac{t}{3}$ adalah: sekelompok bakteri tersebut membutuhkan waktu 3 jam penuh untuk menyelesaikan satu siklus penggandaan (pembelahan biner dari 1 menjadi 2).

Coba lihat jam dan wadah di atas seiring waktu berjalan.

Saat $t=1$ atau $t=2$ jam, bakteri masih dalam proses bersiap membelah (pangkat belum bulat bernilai 1). Belum ada penggandaan utuh.
Saat $t=3$ jam, pangkat menjadi $\frac{3}{3} = 1$. Inilah momen satu siklus utuh selesai, dan 500 bakteri baru saja resmi menjadi 1000.
Saat $t=6$ jam, pangkat menjadi $\frac{6}{3} = 2$. Artinya dalam 6 jam, bakteri sudah melewati dua kali lipat siklus penggandaan (berkembang biak dua kali).

Fungsi jumlah virus dirumuskan M(t) = 100 * 2^(t/5), dengan t dalam menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan virus untuk menyelesaikan SATU KALI SIKLUS membelah diri (jumlahnya menjadi dua kali lipat)?

A. 1 menit
B. 2 menit
C. 5 menit
D. 10 menit

Jawaban: C. 5 menit

Satu siklus berlipat ganda terjadi saat pangkatnya utuh menjadi 1. Agar t/5 = 1, maka t harus 5. Artinya, waktu siklusnya adalah 5 menit.

Penyebut pada pangkat pecahan (t/k) mewakili lamanya waktu untuk menyelesaikan satu siklus penggandaan.

Mesin Waktu Bakteri: Mengintip Kondisi Tertentu

Setelah paham anatominya, rumus $P(t) = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}}$ bisa kita pakai sebagai "mesin waktu" untuk melihat secara akurat kondisi populasi bakteri di jam berapa pun ke depan (forward calculation).

Kita tinggal menyubstitusikan nilai $t$ (waktu dalam jam) ke dalam fungsi dan menghitung pangkatnya lebih dulu.

Mari kita buktikan dua pernyataan pertama di soal tadi menggunakan alur tabel di atas:

Pernyataan I: Jumlah awal populasi bakteri adalah 500. Kondisi "awal" selalu terjadi saat waktu belum berjalan, yaitu $t = 0$.

Substitusi: $P(0) = 500 \cdot 2^{\frac{0}{3}} = 500 \cdot 2^0$
Ingat sifat sakti eksponen: angka berapa pun (selain 0) jika dipangkatkan 0 hasilnya 1 ($a^0 = 1$).
Hasil: $500 \cdot 1 = 500$. Hasil perhitungannya cocok. Pernyataan I terbukti BENAR.

Pernyataan II: Setelah 6 jam, jumlah populasi bakteri adalah 4000. Sekarang waktu berjalan ke $t = 6$.

Substitusi: $P(6) = 500 \cdot 2^{\frac{6}{3}}$
Hitung pangkatnya: $\frac{6}{3} = 2$. Artinya sudah terjadi tepat dua siklus pembelahan.
Hasil: $500 \cdot 2^2 = 500 \cdot 4 = 2000$. Ternyata setelah 6 jam populasinya "baru" mencapai 2000, bukan 4000. Pernyataan II terbukti SALAH.