Geometri Lipatan: Rahasia Area Tumpang Tindih

Melipat = Mencermin

Melipat kertas di sepanjang garis lurus sama dengan mencerminkan bangun datar; semua panjang sisi dan besar sudutnya sama persis (invarian).

Bayangkan proses melipat kertas seperti menempelkan stempel di atas meja: jejak yang tercetak di sisi sebaliknya memiliki bentuk dan dimensi yang identik dengan aslinya.

Ketika segitiga $BCD$ dilipat persis di sepanjang garis diagonal $BD$, titik sudut $C$ berpindah ke posisi baru yaitu $C'$. Karena lipatan merupakan sebuah transformasi pencerminan terhadap garis lipat $BD$, maka segitiga baru $\triangle BC'D$ berstatus kongruen (sama dan sebangun) dengan segitiga asal $\triangle BCD$.

Ukuran yang ada pada bangun mula-mula terbawa utuh tanpa perubahan sedikit pun:

Memahami bahwa semua ukuran ini terawetkan adalah langkah awal sebelum kita mencari luasan daerah yang bertumpuk.

Segitiga Sama Kaki

Sifat sejajar pada persegi panjang dan sudut lipatan selalu menghasilkan daerah tumpang tindih berbentuk segitiga sama kaki.

Diagram pembuktian sudut sama besar pada segitiga tumpang tindih BDE

Daerah kertas yang saling menumpuk setelah dilipat adalah segitiga $BDE$, yaitu persekutuan antara kertas bagian bawah dan kertas lipatan di bagian atas. Garis $DC'$ memotong sisi $AB$ tepat di titik $E$.

Untuk mencari dimensi segitiga ini, kita cukup menelusuri hubungan sudut di sekitar diagonal $BD$:

  1. Sudut dalam berseberangan: Karena sisi alas $AB$ sejajar dengan sisi atas $CD$, maka $\angle ABD = \angle CDB$.

  2. Sudut hasil lipatan: Karena segitiga dilipat di sepanjang $BD$, sudut $\angle CDB$ tercermin menjadi $\angle C'DB$, sehingga $\angle C'DB = \angle CDB$.

Perhatikan sudut-sudut pada segitiga $BDE$. Karena $\angle EBD = \angle CDB$ dan $\angle EDB = \angle CDB$, kedua sudut di dasar diagonal tersebut bernilai sama:

$$\angle EBD = \angle EDB$$

Hubungan kesamaan panjang $ED = EB$ inilah kunci utama yang menghubungkan bagian tumpang tindih dengan segitiga siku-siku di tepian kertas.

Jika selembar kertas berbentuk jajaran genjang dilipat pada salah satu sisinya sehingga membentuk bayangan baru, manakah yang sifatnya dipastikan invarian (tetap) antara bentuk bayangan dan aslinya?

  • Besar sudut-sudut yang bersesuaian
  • Posisi titik sudut terhadap ruang
  • Arah hadap atau orientasi bidangnya
  • Koordinat titik pusat dari kertasnya

Jawaban: Besar sudut-sudut yang bersesuaian

Melipat kertas bekerja serupa dengan pencerminan geometri. Sifat intrinsik bangun seperti panjang sisi, besar sudut yang bersesuaian, serta luas bidang selalu tetap (invarian). Sebaliknya, posisi koordinat titik sudut dan arah hadap bangun akan mengalami perputaran atau pembalikan letak.

Sudut lipatan membagi besar sudut secara simetris ke hasil lipatannya

Aljabar dan Pythagoras

Hubungan segitiga sama kaki memungkinkan kita menggunakan satu variabel untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku yang tidak tumpang tindih.

Diagram segitiga siku-siku AED terisolasi dengan keterangan sisi aljabar

Panjang total sisi $AB$ adalah $8\text{ cm}$. Jika kita memisalkan segmen kecil di sudut kiri bawah sebagai $AE = x$, maka sisa panjang sisi di sebelahnya adalah:

$$EB = 8 - x$$

Dari sifat segitiga sama kaki pada halaman sebelumnya, kita tahu bahwa $ED = EB$. Artinya, panjang sisi miring $ED$ juga bernilai $8 - x$. Sekarang, amati segitiga siku-siku $\triangle AED$ di pojok kiri:

Kita dapat merumuskan hubungan ketiga sisinya dengan teorema Pythagoras:

$$\begin{aligned} ED^2 &= AE^2 + AD^2 \\ (8 - x)^2 &= x^2 + 6^2 \\ 64 - 16x + x^2 &= x^2 + 36 \end{aligned}$$

Kedua ruas memiliki suku $x^2$, sehingga dapat saling menghilangkan:

$$\begin{aligned} 64 - 16x &= 36 \\ 16x &= 64 - 36 \\ 16x &= 28 \\ x &= \frac{28}{16} = 1{,}75\text{ cm} \end{aligned}$$

Dengan diperolehnya nilai $x = 1{,}75\text{ cm}$, dimensi bagian kertas yang tidak tertutup telah kita ketahui secara pasti.