Pertumbuhan Bakteri: Saldo Awal & Rasio Luas

Analogi Saldo: Jangan Lupa 'Modal Awal'

Pernahkah kamu menghitung saldo dompet digitalmu setelah beberapa kali top-up rutin? Bayangkan kamu punya saldo awal Rp10.000. Lalu, setiap hari kamu rutin mengisi (top-up) sebesar Rp15.000.

Berapa saldomu di hari ke-2? Kalau kamu cuma mengalikan nominal top-up dengan jumlah hari ($15.000 \times 2$), hasilnya Rp30.000. Eits, tunggu dulu! Uangmu nyatanya Rp40.000. Kenapa? Karena kamu melupakan modal awal Rp10.000 tadi.

Pemodelan matematika untuk kasus ini disebut fungsi linear. Rumus aslinya sangat intuitif: Saldo Akhir = Saldo Awal + (Nominal Top-up $\times$ Jumlah Hari)

Jika kita ubah ke bahasa matematika, sering ditulis sebagai $y = c + mx$, di mana $c$ adalah nilai awal dan $m$ adalah lajunya. Ide sederhana ini adalah pondasi penting sebelum kita mengukur pertumbuhan bakteri di soal.

Dari Saldo ke Jari-jari Bakteri

Sekarang, mari kita bawa logika saldo dompet digital tadi ke dunia biologi: pertumbuhan koloni bakteri.

Sama seperti dompetmu, koloni bakteri di cawan petri juga punya "modal awal". Di soal disebutkan bahwa pada pengamatan awal ($t=0$), diameter koloni adalah $2\text{ cm}$. Karena jari-jari ($R$) adalah separuh dari diameter, berarti jari-jari awal ($R_0$) bakteri ini adalah $1\text{ cm}$.

Lalu, apa top-up rutinnya? Bakteri ini tumbuh mekar dengan laju pertambahan jari-jari sebesar $1{,}5\text{ cm setiap jamnya}$.

Mari kita cari jari-jari koloni di jam ke-2 ($R_2$) dan jam ke-4 ($R_4$).

• Pada $t=2\text{ jam}$: $R_2 = 1\text{ cm} + (1{,}5\text{ cm/jam} \times 2\text{ jam}) = 1 + 3 = \mathbf{4\text{ cm}}$.

• Pada $t=4\text{ jam}$: $R_4 = 1\text{ cm} + (1{,}5\text{ cm/jam} \times 4\text{ jam}) = 1 + 6 = \mathbf{7\text{ cm}}$.

Lihat kan? Kalau kamu mengabaikan modal awal $1\text{ cm}$ tadi dan langsung mengalikan $1{,}5 \times 4$, kamu akan mendapat $6\text{ cm}$. Jawabanmu pasti langsung meleset!

Miskonsepsi Rasio: Linear vs Kuadrat

Sekarang kita sudah tahu jari-jari koloni di jam ke-2 ($4\text{ cm}$) dan jam ke-4 ($7\text{ cm}$). Pertanyaan selanjutnya adalah: berapakah perbandingan luasnya?

Banyak orang yang terjebak di sini dengan langsung menjawab $4 : 7$. Mereka berpikir membandingkan luas sama dengan membandingkan jari-jari. Ini salah besar!

Perhatikan rumus luas lingkaran: $L = \pi \times R^2$

Saat kita membandingkan Luas A dan Luas B, kita menuliskannya seperti ini: $\pi \times R_A^2 \ \ : \ \ \pi \times R_B^2$

Karena nilai $\pi$ (pi) selalu sama untuk setiap lingkaran, kita bisa langsung mencoretnya dari perbandingan. Yang tersisa hanyalah $R_A^2 : R_B^2$.

Artinya, untuk mencari perbandingan luas, kamu wajib menguadratkan nilai jari-jarinya terlebih dahulu sebelum membandingkannya. Jangan cuma pakai ukuran panjangnya!