Analisis Galat: Dari Kalkulus ke Presisi

Nilai Utama Pertambahan Panjang

Sebelum masuk ke ranah galat, besaran sentral dari hasil perhitungan wajib ditemukan terlebih dahulu memakai rumus fisika standar.

Dalam analogi pabrik komponen presisi, langkah pertama seorang teknisi adalah menghitung panjang standar yang diinginkan dari mesin pemotong sebelum memperhitungkan kemungkinan cacat akibat fluktuasi suhu. Kita gunakan rumus pemuaian panjang linier hanya untuk nilai utamanya saja (tanpa tanda toleransi $\pm$):

$$\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T$$

Dengan memasukkan nilai awal yang diketahui:

$L_0 = 120{,}0000\text{ mm}$
$\alpha = 2 \times 10^{-5}\text{ K}^{-1}$
$\Delta T = 50{,}0\text{ }^\circ\text{C}$

Perhitungannya menghasilkan:

$$\Delta L = 120{,}0000 \times (2 \times 10^{-5}) \times 50{,}0 = 0{,}12\text{ mm}$$

Logika Diferensial Fluktuasi

Ketidakpastian mutlak pada hasil diakibatkan oleh seberapa sensitif rumus tersebut terhadap perubahan variabel inputnya, yang diwakili oleh turunan fungsinya.

Dua roda gigi mekanik terhubung yang mengilustrasikan perambatan variasi gerak input menjadi variasi output

Bayangkan dua roda gigi mekanik di mesin pabrik: roda gigi kecil input bergetar sedikit karena fluktuasi sensor oven ($\delta(\Delta T)$). Roda gigi output akan ikut bergoyang dengan besar simpangan yang sebanding dengan rasio perbandingan giginya. Rasio pengali inilah yang dalam kalkulus disebut sebagai turunan parsial atau koefisien sensitivitas.

Berdasarkan prinsip diferensial:

$$dY = f'(X) \cdot dX$$

Dalam persamaan $\Delta L = (L_0 \cdot \alpha) \cdot \Delta T$, besaran $L_0$ dan $\alpha$ bernilai tetap (konstan). Maka laju perubahan $\Delta L$ terhadap suhu adalah turunan parsialnya:

$$\frac{\partial(\Delta L)}{\partial(\Delta T)} = L_0 \cdot \alpha$$

Sehingga perambatan ralatnya dirumuskan dengan:

$$\delta(\Delta L) = \left| \frac{\partial(\Delta L)}{\partial(\Delta T)} \right| \cdot \delta(\Delta T) = (L_0 \cdot \alpha) \cdot \delta(\Delta T)$$

Dalam uji coba pegas di laboratorium, energi potensial pegas dirumuskan dengan $E = \frac{1}{2} k x^2$. Jika konstanta pegas $k$ bernilai tetap dan hanya regangan $x$ yang memiliki ketidakpastian $\delta x$, bentuk turunan fungsi yang menjadi pengali sensitivitas perambatan ralat tersebut adalah...

Nilai turunan sebesar 1/2 k
Nilai turunan sebesar k · x
Nilai turunan sebesar k · x²
Nilai turunan sebesar 1/2 k² x

Jawaban: Nilai turunan sebesar k · x

Fungsi energi adalah E = 1/2 k x². Turunan pertama fungsi tersebut terhadap variabel x adalah dE/dx = 2 · (1/2) k x^(2-1) = k · x. Suku k · x inilah koefisien sensitivitas yang mengalikan ketidakpastian regangan δx. Pengecoh A hanya mengambil konstanta tanpa variabel, opsi C lupa mengalikan dengan pangkat 2, dan opsi D salah mengoperasikan kuadrat pada konstanta.

Turunan parsial dari fungsi fisika menggambarkan sensitivitas perambatan ralat.

Mengeksekusi Turunan Parsial

Menghitung nilai ketidakpastian mutlak secara spesifik dengan memasukkan data konstanta ke dalam turunan fungsi.

Setelah menemukan formula laju sensitivitasnya, kita hitung toleransi simpangan batang superkonduktor di pabrik secara spesifik:

$$\delta(\Delta L) = (L_0 \cdot \alpha) \cdot \delta(\Delta T)$$

Substitusikan parameter yang diberikan:

$$\delta(\Delta L) = (120{,}0000\text{ mm} \times 2 \times 10^{-5}\text{ K}^{-1}) \times 0{,}1\text{ K}$$

Mari kita selesaikan secara bertahap agar penempatan notasi desimal tetap presisi:

Kalikan suku pengali sensitivitas:
$$120{,}0000 \times 2 \times 10^{-5} = 240 \times 10^{-5} = 0{,}0024\text{ mm/K}$$
Kalikan dengan ketidakpastian suhu input:
$$\delta(\Delta L) = 0{,}0024 \times 0{,}1 = 0{,}00024\text{ mm}$$