Membongkar Misteri Suku Tengah yang Hilang

Ke Mana Perginya Suku Tengah?

Perkalian dua kurung yang isinya sama tapi beda tanda akan menghasilkan suku tengah yang saling menghilangkan.

Untuk melihat alasannya tanpa rumus yang rumit, bayangkan perkalian angka biasa $(10 + 2)(10 - 2)$, yang sebenarnya sama saja dengan $12 \times 8 = 96$. Jika kita buka kurungnya satu per satu menggunakan perkalian silang (pelangi), perhatikan apa yang terjadi pada setiap sukunya.

Diagram perkalian silang 10+2 10-2 yang memperlihatkan suku tengah -20 dan +20 saling menghilangkan menjadi nol.

Kita kalikan tiap pasangannya secara bertahap:

  1. Depan kali depan: $10 \times 10 = 100$.

  2. Depan kali belakang: $10 \times (-2) = -20$.

  3. Belakang kali depan: $2 \times 10 = +20$.

  4. Belakang kali belakang: $2 \times (-2) = -4$.

Dua suku yang muncul di tengah adalah $-20$ dan $+20$. Di sinilah terjadi analogi tarik tambang seimbang: kedua suku ini punya nilai yang sama persis, tetapi tanda operasinya berlawanan (positif dan negatif). Seperti dua tim tarik tambang dengan kekuatan seimbang yang menarik ke arah berlawanan, keduanya saling meniadakan hingga bernilai $0$.

Hasil akhirnya cukup menyisakan kuadrat ujung depan dikurangi kuadrat ujung belakang: $100 - 4 = 96$.

Jalan Pintas Selisih Kuadrat

Pola suku tengah yang hilang berlaku universal, sehingga kita bisa langsung memakai jalan pintas kuadrat ujung-ujungnya.

Karena proses perkalian silang pada tanda berlawanan selalu memicu tarik tambang seimbang yang bernilai nol, kita tidak perlu lagi mengalikan empat kali secara panjang lebar. Pasangan kurung seperti ini disebut Bentuk Sekawan, yaitu dua ekspresi binomial yang komponennya persis sama namun berbeda tanda operasi di tengahnya.

Hasil kali dari pasangan ini dinamakan Selisih Kuadrat:

$$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$$

Pola ini sangat berguna di topik aljabar lain, terutama saat merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar. Kita sengaja mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawannya agar bentuk akar pada penyebut langsung hilang menjadi bilangan rasional.

Berapa hasil perkalian dari $(x + 7)(x - 7)$ kalau kamu pakai jalan pintas tadi?

  • $x^2 - 49$
  • $x^2 + 49$
  • $x^2 - 14$
  • $x^2 - 14x - 49$

Jawaban: $x^2 - 49$

Bentuk $(x + 7)(x - 7)$ merupakan bentuk sekawan $(A+B)(A-B)$, sehingga suku tengahnya saling menghilangkan menjadi nol. Hasil akhirnya adalah kuadrat depan dikurangi kuadrat belakang: $x^2 - 7^2 = x^2 - 49$. Opsi B salah karena perkalian tanda positif dan negatif menghasilkan tanda minus. Opsi C salah karena mengalikan $7 \times 2$, bukan mengkuadratkan $7^2$. Opsi D salah karena masih menyisakan suku tengah yang seharusnya sudah habis.

Menerapkan jalan pintas selisih kuadrat pada bentuk aljabar sederhana.

Mengeksekusi Soal Asli

Jalan pintas selisih kuadrat sangat mempermudah perhitungan perkalian bentuk akar sekawan.

Pada soal asli, kita berhadapan dengan perkalian:

$$(5\sqrt{2} + 2\sqrt{7})\cdot(5\sqrt{2} - 2\sqrt{7})$$

Bentuk ini persis mengikuti pola $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$, dengan $A = 5\sqrt{2}$ dan $B = 2\sqrt{7}$. Kita cukup mengkuadratkan masing-masing komponen:

  1. Kuadrat suku depan ($A^2$):

    $$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$

  2. Kuadrat suku belakang ($B^2$):

    $$(2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$$

Selanjutnya, kurangkan kedua nilai tersebut:

$$50 - 28 = 22$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi B adalah jawaban yang benar ($22$).

Coba tes jalan pintasnya ke bentuk akar ini: $(3\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5})$. Berapa hasilnya?

  • $7$
  • $17$
  • $47$
  • $-7$

Jawaban: $7$

Gunakan jalan pintas selisih kuadrat $A^2 - B^2$. Suku depan dikuadratkan: $(3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27$. Suku belakang dikuadratkan: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$. Selisihnya adalah $27 - 20 = 7$. Opsi B ($17$) salah karena salah mengkuadratkan suku belakang menjadi 10 ($27 - 10 = 17$). Opsi C ($47$) salah karena menjumlahkan kuadratnya ($27 + 20$), bukan mengurangkan. Opsi D ($-7$) salah karena urutan pengurangannya terbalik ($20 - 27$).

Menghitung perkalian bentuk akar sekawan menggunakan selisih kuadrat.