Menyingkap Sisi Persegi dari Diagonalnya

Membelah Persegi

Diagonal membagi sebuah persegi menjadi dua segitiga siku-siku sama kaki, sehingga panjang sisinya dapat dicari dengan Teorema Pythagoras.

Bayangkan sebuah taman kota berbentuk persegi dengan panjang sisi $s$. Ketika kita menarik diagonal—yaitu garis lurus yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan—taman tersebut terbelah tepat menjadi dua segitiga siku-siku yang identik.

Kedua sisi tegak pada segitiga tersebut adalah sisi-sisi persegi yang sama panjang ($s$), sementara garis miring atau hipotenusanya adalah jalan setapak diagonal ($d$). Karena memiliki sudut siku-siku, kondisi ini memenuhi syarat berlakunya Teorema Pythagoras:

$$s^2 + s^2 = d^2$$

Hubungan ini membentuk sebuah 'timbangan' persamaan awal: kuadrat sisi miring selalu seimbang dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya. Pola pemodelan ini juga menjadi dasar saat kamu menentukan jarak terpendek antartitik pada bidang koordinat maupun menghitung sisi pada belah ketupat.

Merakit Timbangan Aljabar

Persamaan Pythagoras pada persegi dapat disederhanakan terlebih dahulu sebelum kita memasukkan angka dari soal.

Dari pemodelan segitiga siku-siku sebelumnya, kita memperoleh relasi dasar:

$$s^2 + s^2 = d^2$$

Karena suku di ruas kiri sama-sama berupa $s^2$, kita dapat menggabungkan keduanya menjadi satu suku:

$$2s^2 = d^2$$

Menyelesaikan persamaan aljabar ibarat menyeimbangkan timbangan; setiap operasi yang dilakukan di ruas kiri harus dilakukan persis sama di ruas kanan secara berurutan. Untuk memisahkan dan mencari nilai $s$:

1. Bagi kedua ruas timbangan dengan $2$, menghasilkan $s^2 = \frac{d^2}{2}$.

2. Tarik akar kuadrat pada kedua ruas untuk memperoleh nilai $s$.

Eksekusi Langkah demi Langkah

Memasukkan nilai diagonal yang berbentuk akar ke dalam kuadrat akan langsung menghilangkan akarnya dan menyederhanakan hitungan.

Mari kita lanjutkan timbangan aljabar yang sudah tersusun:

$$2s^2 = d^2$$

Lakukan substitusi nilai diagonal taman $d = \sqrt{128}\text{ m}$ ke dalam persamaan tersebut:

$$2s^2 = (\sqrt{128})^2$$

Operasi kuadrat dan akar kuadrat saling meniadakan, sehingga ruas kanan langsung menjadi bilangan bulat bersih:

$$2s^2 = 128$$

Sebagian orang memilih menyederhanakan bentuk $\sqrt{128}$ terlebih dahulu menjadi $8\sqrt{2}$ seperti pada Opsi D. Namun, jika kamu langsung mengira nilai tersebut sebagai jawaban akhir, kamu melewatkan langkah mencari sisi taman. Membiarkan bentuk $\sqrt{128}$ masuk ke dalam kuadrat jauh lebih cepat dan praktis.

Sekarang, kita selesaikan persamaan aljabar tersebut secara bertahap:

1. Bagi kedua ruas dengan $2$:

   $$s^2 = \frac{128}{2} = 64$$

2. Tarik akar kuadrat pada kedua ruas untuk menentukan nilai $s$:

   $$s = \sqrt{64} = 8\text{ m}$$

Dengan demikian, panjang sisi taman adalah $8\text{ m}$ (Opsi C).