Garis Kuasa & Kedudukan Lingkaran

Memetakan Dua Lingkaran

Sebelum kita bisa menganalisis kedudukan antar lingkaran, kita harus memetakannya terlebih dahulu. Kita perlu tahu persis di mana titik pusatnya dan seberapa panjang jari-jarinya. Fondasi geometri ini wajib kuat agar kita tidak salah membayangkan posisinya.

Lingkaran pertama, $L_1 \equiv x^2 + y^2 = 4$, adalah bentuk standar yang paling ramah. Karena tidak ada suku $x$ atau $y$ (pangkat satu), sudah pasti pusatnya bersandar manis di titik asal $P_1(0, 0)$. Jari-jarinya adalah akar dari ruas kanan, yaitu $r_1 = \sqrt{4} = 2$. Opsi I terbukti benar.

Untuk lingkaran kedua, $L_2 \equiv x^2 + y^2 - 12x + 6y + 29 = 0$, kita harus mengekstrak pusatnya lewat rumus $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$.

• Bagian absis (x): $-\frac{-12}{2} = 6$

• Bagian ordinat (y): $-\frac{6}{2} = -3$

Berarti, pusat $L_2$ ada di $P_2(6, -3)$. Di soal, Opsi II menyebutkan pusatnya $(-6, -3)$. Jelas ini salah tempat! Jari-jarinya dihitung dengan $r_2 = \sqrt{6^2 + (-3)^2 - 29} = \sqrt{36 + 9 - 29} = \sqrt{16} = 4$.

Konfirmasi Saling Lepas

Setelah tahu posisi pasti dan ukuran kedua lingkaran, pertanyaan berikutnya: apakah mereka saling tabrakan, bersinggungan, atau justru menjauh? Jawabannya ada pada perbandingan jarak.

Jika jarak garis lurus yang menghubungkan kedua pusat ($d$) ternyata lebih panjang dari gabungan jari-jari kedua lingkaran ($r_1 + r_2$), maka kedua lingkaran tersebut tidak punya cukup lengan untuk saling meraih. Mereka terpisah jauh.

Mari kita hitung jarak antara $P_1(0, 0)$ dan $P_2(6, -3)$ pakai rumus Pythagoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $d = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$. Karena $\sqrt{45}$ bisa disederhanakan menjadi $\sqrt{9 \times 5}$, maka $d = 3\sqrt{5}$. Opsi III benar.

Sekarang, kita adu $d$ melawan gabungan jari-jari ($r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$). Biar adil membandingkannya, ubah angka 6 jadi bentuk akar, yaitu $\sqrt{36}$.

Kelihatan jelas kan? $\sqrt{45}$ lebih besar dari $\sqrt{36}$. Karena $d > r_1 + r_2$, kedua lingkaran tersebut saling lepas dan tidak berpotongan. Opsi IV benar.

Apa itu Sumbu Radikal?

Sumbu radikal atau garis kuasa sering cuma diingat sebagai "rumus $L_1 - L_2 = 0$". Tapi secara geometri, apa sih wujudnya?

Sumbu radikal bukanlah garis sembarangan. Ia adalah tempat berkumpulnya "titik-titik impas". Kalau kamu berdiri di titik mana pun di sepanjang garis ini, lalu kamu menarik tali (garis singgung) ke arah luar lingkaran pertama dan lingkaran kedua, panjang kedua tali itu akan selalu sama persis.

Nilai kuadrat dari panjang garis singgung inilah yang dalam matematika disebut sebagai kuasa sebuah titik ($K$). Jadi, sumbu radikal adalah kumpulan titik di mana kuasa terhadap $L_1$ sama seimbangnya dengan kuasa terhadap $L_2$ ($K_1 = K_2$).

Karena dua lingkaran kita tadi sifatnya saling lepas (punya ruang kosong di antaranya), sumbu radikal ini akan membentang menembus ruang kosong tersebut secara tegak lurus memotong bayangan garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran.