Membongkar Teka-Teki Dua Bilangan
Menerjemahkan Kata Menjadi Persamaan
Kalimat cerita dapat diwakilkan menjadi huruf matematika, di mana selisih secara natural adalah nilai besar dikurangi nilai kecil agar selalu bernilai positif.
Bayangkan kita memiliki dua kantong koin: kantong besar berisi koin lebih banyak yang kita sebut variabel $x$, dan kantong kecil berisi koin lebih sedikit yang kita sebut variabel $y$. Variabel adalah huruf atau simbol yang digunakan untuk mewakili nilai angka yang belum kita ketahui.
Ketika soal menyebutkan "jumlah dua bilangan adalah $50$", artinya jika seluruh isi kedua kantong koin digabungkan di atas timbangan, totalnya ada $50$ koin. Dalam bahasa matematika, ini ditulis sebagai persamaan linear pertama:
$$x + y = 50$$
Persamaan linear adalah kalimat matematika yang mengandung variabel dan tanda sama dengan ($=$). Selanjutnya, kalimat "selisihnya $8$" berbicara tentang jarak selisih antara kedua kantong. Selisih adalah jarak nilai positif antara dua angka, yang dihitung dengan mengurangi angka yang lebih besar dengan angka yang lebih kecil. Karena kantong $x$ lebih besar dari kantong $y$, maka isi kantong $x$ memiliki kelebihan $8$ koin dibanding kantong $y$:
$$x - y = 8$$
Menggabungkan Dua Fakta
Menjumlahkan persamaan total dan persamaan selisih akan otomatis membuang nilai yang lebih kecil dan menyisakan dua kali lipat nilai terbesar.
Mari kita susun kedua persamaan linear kantong koin secara bersusun:
$$x + y = 50$$
$$x - y = 8$$
Jika kedua baris persamaan tersebut kita jumlahkan secara bersamaan, perhatikan apa yang terjadi pada setiap sukunya di sisi kiri:
$$(x + x) + (y - y) = 50 + 8$$
Suku $+y$ dan $-y$ saling meniadakan menjadi $0$. Tindakan membuang salah satu variabel ini menyisakan satu variabel saja:
$$2x = 58$$
Artinya, isi dari dua kantong besar bernilai total $58$ koin. Maka, satu kantong besar ($x$) berisi:
$$x = \frac{58}{2} = 29$$
Setelah nilai kantong besar ditemukan, kita cukup memasukkan nilai $x = 29$ ke dalam persamaan jumlah awal ($x + y = 50$):
$$29 + y = 50$$
$$y = 50 - 29 = 21$$
Kedua bilangan telah ditemukan dengan pasti: bilangan terbesar bernilai $29$ dan bilangan terkecil bernilai $21$. Keduanya terbukti merupakan bilangan ganjil positif.
Jumlah dua angka adalah 30, dan selisih keduanya adalah 4. Berapakah nilai angka terbesarnya?
- 13
- 15
- 17
- 26
Jawaban: 17
Misalkan bilangan terbesar adalah x dan bilangan terkecil adalah y. Persamaan jumlah: x + y = 30. Persamaan selisih: x - y = 4. Jika kedua persamaan dijumlahkan, suku y saling meniadakan sehingga diperoleh 2x = 34, yang menghasilkan x = 17. Opsi A (13) adalah nilai bilangan terkecil (y = 13). Opsi B (15) salah karena hanya membagi 30 dengan 2 tanpa memperhitungkan selisih. Opsi D (26) salah karena keliru mengurangkan 30 dengan 4.
Menemukan bilangan terbesar jika diketahui jumlah dan selisihnya.
Menguji Kebenaran Pernyataan
Nilai variabel yang telah ditemukan dapat digunakan langsung untuk membuktikan nilai kebenaran dari berbagai pernyataan dalam soal.
Berdasarkan perhitungan matematis pasti dari halaman sebelumnya, kita memperoleh bilangan terbesar $x = 29$ dan bilangan terkecil $y = 21$. Mari kita uji ketiga pernyataan pada soal satu per satu.
Pernyataan I: "Nilai bilangan terbesar lebih besar dari $25$." Bilangan terbesar adalah $29$. Karena $29 > 25$, maka Pernyataan I bernilai BENAR.
Pernyataan II: "Nilai bilangan terkecil lebih kecil dari $20$." Bilangan terkecil adalah $21$. Jika kita membandingkannya, $21$ tidak lebih kecil dari $20$ ($21 > 20$). Pernyataan II ini menggoda siswa yang hanya menebak-nebak angka belasan secara kasar tanpa menyusun persamaan pasti. Maka, Pernyataan II bernilai SALAH.
Pernyataan III: "Nilai bilangan terbesar merupakan bilangan kelipatan $3$." Bilangan terbesar adalah $29$. Bilangan kelipatan $3$ yang berdekatan adalah $27$ dan $30$. Ketika $29$ dibagi $3$, hasilnya adalah $9$ dengan sisa $2$ (tidak habis dibagi $3$). Maka, Pernyataan III bernilai SALAH.