Membongkar Teka-Teki Bilangan Bersyarat

Relatif Prima vs Bilangan Prima

Relatif prima berarti dua bilangan tidak punya pembagi bersama selain $1$, meskipun bilangannya sendiri bukan bilangan prima.

Sering kali kita terkecoh dan mengira bahwa bilangan yang saling relatif prima haruslah bilangan prima seperti $2, 3,$ atau $5$. Padahal, kedua konsep ini sangat berbeda:

• Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari $1$ yang hanya habis dibagi oleh $1$ dan dirinya sendiri.

• Relatif prima adalah hubungan antara dua bilangan (atau lebih) di mana Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari keduanya adalah $1$.

Sebagai contoh, perhatikan angka $4$ dan $15$. Angka $4$ bukan bilangan prima (faktornya $1, 2, 4$), dan $15$ juga bukan bilangan prima (faktornya $1, 3, 5, 15$). Namun, satu-satunya faktor pembagi yang sama di antara keduanya hanyalah $1$. Artinya, $4$ dan $15$ saling relatif prima!

Di simulasi interaktif di atas, kamu bisa mencoba memasangkan berbagai bilangan. Perhatikan bahwa saat kedua bilangan tidak berbagi faktor selain $1$, keduanya langsung berstatus relatif prima tanpa harus menjadi bilangan prima. Pada soal kita, syarat $x, y, z$ saling relatif prima berarti setiap pasangan dari ketiga bilangan tersebut harus memiliki $\text{FPB} = 1$.

Strategi Memilih Titik Mulai

Saat ada persamaan perkalian dan penjumlahan bilangan bulat, selalu mulai dari perkalian karena jumlah kemungkinannya terbatas.

Bayangkan kamu seorang detektif yang sedang mencari tersangka dari petunjuk berlapis. Persamaan perkalian $xy = 60$ bekerja seperti rekaman CCTV: hanya ada segelintir orang yang terekam lewat di jam kejadian. Sebaliknya, persamaan penjumlahan $x + y + z = 30$ seperti tumpukan ribuan berkas sidik jari warga kota; ada ratusan kombinasi tiga bilangan asli yang jika dijumlahkan menghasilkan $30$.

Mencoba menggabungkan kedua persamaan secara aljabar murni—misalnya memaksakan bentuk seperti $2x + 2y + 2z = xy$—justru membuat penyelidikan buntu dan rumit. Kunci menyelesaikan persamaan bilangan bulat (Diophantine) adalah membatasi ruang pencarian terlebih dahulu. Karena $x$ dan $y$ adalah bilangan asli dengan $x < y$, pasangan faktor dari $xy = 60$ yang mungkin hanyalah:

• $(1, 60)$

• $(2, 30)$

• $(3, 20)$

• $(4, 15)$

• $(5, 12)$

• $(6, 10)$

Hanya ada $6$ pasang tersangka! Dengan daftar yang sangat ringkas ini, kita tinggal menyaringnya menggunakan petunjuk berikutnya.

Tabel Eliminasi Kasus

Menggunakan tabel membantu kita menguji setiap kemungkinan secara terstruktur hingga menemukan satu-satunya jawaban yang memenuhi semua syarat.

Setelah memegang daftar tersangka dari rekaman CCTV ($xy = 60$), sekarang saatnya mencocokkan mereka dengan dua petunjuk "sidik jari": syarat relatif prima dan persamaan penjumlahan $x + y + z = 30 \iff z = 30 - (x + y)$ dengan urutan $x < y < z$.

Mari kita periksa setiap pasang $(x, y)$ satu demi satu:

1. Pasangan $(1, 60)$: Saling relatif prima, tetapi $z = 30 - (1 + 60) = -31$. Karena $z$ harus berupa bilangan asli ($z > 0$), pasangan ini gugur.

2. Pasangan $(2, 30)$: Memiliki $\text{FPB}(2, 30) = 2 \neq 1$, sehingga tidak relatif prima. Langsung gugur.

3. Pasangan $(3, 20)$: Relatif prima, namun $z = 30 - (3 + 20) = 7$. Urutannya menjadi $3 < 20 > 7$, melanggar syarat $x < y < z$. Gugur.

4. Pasangan $(4, 15)$: Relatif prima, namun $z = 30 - (4 + 15) = 11$. Urutannya $4 < 15 > 11$, melanggar syarat $x < y < z$. Gugur.

5. Pasangan $(5, 12)$: Relatif prima ($\text{FPB} = 1$), menghasilkan $z = 30 - (5 + 12) = 13$. Urutannya $5 < 12 < 13$ terpenuhi! Ketiga bilangan $5, 12, 13$ juga saling relatif prima berpasangan.

6. Pasangan $(6, 10)$: Memiliki $\text{FPB}(6, 10) = 2 \neq 1$, sehingga tidak relatif prima. Langsung gugur.

Satu-satunya kombinasi yang lolos seluruh saringan adalah $x = 5$, $y = 12$, dan $z = 13$.