Bongkar Operasi Campuran Akar & Pecahan

Desimal, Pecahan, atau Persen?

Dalam operasi perkalian dan pembagian campuran, mengubah semua bentuk menjadi pecahan biasa seringkali mempercepat dan mempermudah perhitungan karena faktor pembilang dan penyebut bisa saling mencoret. Ketika sebuah ekspresi matematika mencampuradukkan desimal, persen, dan pecahan campuran, mengubahnya menjadi desimal memang tidak selalu salah. Namun, bentuk desimal rawan menghasilkan desimal berulang atau pembagian panjang yang memakan waktu. Sebaliknya, bentuk pecahan memungkinkan kita menyederhanakan angka sejak awal.

Perhatikan suku pertama pada soal:

$$\left(0{,}8 \times 2\frac{1}{2}\right)\sqrt{5}$$

Untuk menyelesaikannya dengan cepat, kita seragamkan suku di dalam kurung ke bentuk pecahan biasa:

• Bentuk desimal $0{,}8$ diubah menjadi $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

• Bentuk pecahan campuran $2\frac{1}{2}$ diubah menjadi $\frac{5}{2}$.

Sekarang, kalikan kedua pecahan tersebut:

$$\left(\frac{4}{5} \times \frac{5}{2}\right)\sqrt{5} = \left(\frac{4 \times 5}{5 \times 2}\right)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$

Angka $5$ pada pembilang dan penyebut langsung saling menghilangkan, menghasilkan angka $2$ yang bulat dan rapi. Strategi konversi yang sama juga sangat ampuh untuk bentuk persen. Misalnya pada suku kedua, $75\%$ langsung kita ubah menjadi pecahan biasa $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$, sehingga pembagian $75\% \div \frac{1}{4}$ berubah menjadi $\frac{3}{4} \times \frac{4}{1} = 3$.

Menyederhanakan Bentuk Akar

Akar yang besar sering kali menyimpan bilangan kuadrat di dalamnya yang bisa dikeluarkan agar akarnya menjadi sejenis. Jika kita melihat suku kedua dan ketiga pada soal, kita menemukan bentuk $\sqrt{20}$ dan $\sqrt{45}$. Sepintas, keduanya tampak tidak bisa dijumlahkan langsung dengan $\sqrt{5}$ pada suku pertama. Namun, di sinilah teknik menyederhanakan akar bekerja.

Prinsip dasar dari menyederhanakan akar adalah memanfaatkan sifat distributif perkalian pada akar: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Trik utamanya adalah mencari faktor pembagi yang merupakan bilangan kuadrat sempurna terbesar, seperti $4, 9, 16, 25$, dan seterusnya:

1. Pada suku kedua ($\sqrt{20}$): Faktor kuadrat sempurna terbesar dari $20$ adalah $4$.

   $$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$

   Karena sebelumnya di dalam kurung kita memperoleh nilai $3$, maka suku kedua menjadi:

   $$3 \times 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$$

2. Pada suku ketiga ($\sqrt{45}$): Faktor kuadrat sempurna terbesar dari $45$ adalah $9$.

   $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$

   Di dalam kurung suku ketiga terdapat operasi $4 \times 1\frac{1}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$. Maka suku ketiga menjadi:

   $$6 \times 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$$

Hukum Distributif di Balik Akar

Kita hanya boleh menjumlahkan atau mengurangkan koefisien dari bentuk akar asalkan akarnya persis sama, berkat hukum distributif. Bayangkan menyederhanakan bentuk akar itu seperti mengelompokkan barang sejenis, misalnya buah apel. Jika kamu memiliki $2$ apel lalu dikurangi $6$ apel, ditambah $18$ apel, dan dikurangi $10$ apel, kamu bisa menghitung jumlahnya dengan menambah atau mengurangi angkanya saja. Namun, jenis buahnya tetap apel. Di dalam soal ini, peran "apel" tersebut dipegang oleh $\sqrt{5}$.

Setelah ketiga suku pertama disederhanakan pada langkah sebelumnya, seluruh ekspresi pada soal kini memiliki bentuk:

$$2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5}$$

Secara matematis, kita menggunakan hukum distributif untuk mengeluarkan faktor persekutuan $\sqrt{5}$:

$$2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5} = (2 - 6 + 18 - 10)\sqrt{5}$$

Sekarang hitung operasi di dalam kurung:

$$(2 - 6 + 18 - 10)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$

Hasil ini sesuai dengan Opsi B ($4\sqrt{5}$).

Pola ini berlaku universal: pada setiap operasi bilangan riil yang mencampur berbagai representasi, selalu ubah representasi ke bentuk yang seragam dan faktorkan akar sampai sejenis sebelum menjumlahkannya.