Suku Tengah Barisan & Seni Substitusi Aljabar

Sifat Rahasia Tiga Suku Berurutan

Pernahkah kamu ketemu soal deret yang cuma ngasih tau tiga suku berurutan, tapi kamu reflek langsung ngebongkar rumusnya pakai $U_n = a + (n-1)b$ atau $U_n = a \cdot r^{n-1}$? Cara itu gak salah, tapi sering kali bikin perhitungan jadi kepanjangan.

Sebenarnya, ada "jalan pintas" yang memanfaatkan definisi dasar dari barisan itu sendiri. Daripada melihat sukunya dari jauh (dari $a$), kita bisa melihat hubungan antar-tetangganya.

Mari kita bedah idenya:

Barisan Aritmatika: Inti dari aritmatika adalah beda yang konstan (selalu nambah angka yang sama). Artinya, selisih suku ke-2 dan ke-1 pasti sama dengan selisih suku ke-3 dan ke-2. Secara aljabar, $U_2 - U_1 = U_3 - U_2$. Kalau kita pindah ruaskan suku negatifnya, kita langsung dapat formula cantik: $2U_2 = U_1 + U_3$.
Barisan Geometri: Konsepnya mirip, tapi untuk geometri yang konstan adalah rasio (pengalinya). Artinya, $U_2 / U_1 = U_3 / U_2$. Kalau kita kali silang, kita dapat: $U_2^2 = U_1 \times U_3$.

Jika $x, y, z$ adalah tiga suku berurutan dari suatu barisan geometri, hubungan manakah yang pasti benar?

A. $x^2 = y + z$
B. $y^2 = x \times z$
C. $2y = x \times z$
D. $z^2 = x \times y$

Jawaban: B. $y^2 = x \times z$

Karena x, y, z adalah barisan geometri, rasio antarsukunya konstan ($y/x = z/y$). Jika dikali silang, hasilnya adalah $y^2 = x \times z$.

Sifat suku tengah barisan geometri (tiga suku berurutan) adalah kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku ujung.

Menerjemahkan Soal ke Bahasa Aljabar

Sekarang mari kita bawa senjata baru kita tadi ke soal yang sedang dihadapi. Soal ini menggabungkan dua barisan dalam satu napas. Kuncinya? Jangan panik, pecah kalimatnya satu per satu!

Kalimat Pertama: Soal bilang $e_1, e_2, e_3$ adalah barisan aritmatika. Ingat sifat suku tengah aritmatika yang baru kita pelajari? Dua kali suku tengah sama dengan jumlah suku ujungnya. Langsung terjemahkan menjadi Persamaan 1: $2e_2 = e_1 + e_3$.

Kalimat Kedua: Soal bilang $e_1, e_2, e_1+e_3$ adalah barisan geometri. Sifat suku tengah geometri mengatakan kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku ujungnya. Perhatikan bahwa suku ketiganya di sini bukan sekadar $e_3$, melainkan satu kesatuan utuh $(e_1 + e_3)$. Terjemahkan menjadi Persamaan 2: $e_2^2 = e_1(e_1+e_3)$.

Keajaiban Substitusi Utuh

Kita sudah punya dua model matematika:

$2e_2 = e_1 + e_3$
$e_2^2 = e_1(e_1+e_3)$

Banyak siswa terjebak dengan mencoba mencari nilai masing-masing $e_1$, $e_2$, dan $e_3$ secara terpisah. Padahal, aljabar itu sangat membebaskan! Kamu bisa mensubstitusi (mengganti) seluruh paket/blok sekaligus.

Perhatikan ruas kanan pada Persamaan 2: terdapat blok $(e_1 + e_3)$. Dari Persamaan 1, kita tahu persis bahwa $(e_1 + e_3)$ itu nilainya sama persis dengan $2e_2$. Jadi, daripada ribet, ganti saja seluruh blok tersebut secara utuh!

Langkah taktisnya:

Bentuk awal: $e_2^2 = e_1(e_1+e_3)$
Substitusi utuh: $e_2^2 = e_1(2e_2)$
Bagi kedua ruas dengan $e_2$ (karena di barisan, kita asumsikan nilainya tak nol): $e_2 = 2e_1$

Selamat! Kita sampai di checkpoint yang sangat penting. Kita baru saja menemukan relasi langsung yang sangat sederhana antara $e_2$ dan $e_1$.

Diberikan sistem persamaan: Persamaan 1 adalah $4x = a + b$, dan Persamaan 2 adalah $y^2 = x(a + b)$. Langkah paling taktis untuk menyelesaikannya adalah...

A. Substitusi nilai masing-masing $a$ dan $b$ ke Persamaan 2
B. Jabarkan Persamaan 2 menjadi $y^2 = xa + xb$
C. Ganti seluruh blok $(a+b)$ di Persamaan 2 langsung menjadi $4x$
D. Cari nilai $x$ terlebih dahulu dari Persamaan 1

Jawaban: C. Ganti seluruh blok $(a+b)$ di Persamaan 2 langsung menjadi $4x$

Karena kita punya blok yang persis sama, yaitu $(a+b)$, kita bisa langsung mensubstitusi bentuk utuh tersebut dengan $4x$ agar perhitungan jauh lebih efisien.

Substitusi bentuk utuh aljabar bisa dilakukan dengan langsung mengganti satu blok persamaan dengan nilai ekivalennya dari persamaan lain.