Barisan Geometri: Pola Jadi Aljabar Sederhana

Rasio si Pengali Tetap

Rasio pada barisan geometri dapat langsung diketahui dari perbandingan dua suku yang bersebelahan.

Dalam matematika, barisan geometri adalah deretan angka yang pola pertumbuhannya selalu dikali dengan bilangan tetap yang sama. Bilangan pengali tetap ini disebut sebagai rasio ($r$), sedangkan angka awal pembuat barisannya disebut suku pertama ($a$).

Skema barisan geometri tiga suku yang menunjukkan perpindahan antarsuku dikalikan 4.

Ketika sebuah soal menyebutkan bahwa "bilangan tengah $b$ adalah 4 kali bilangan pertama $a$", informasi ini sebenarnya sedang memberikan nilai rasionya secara terang-terangan. Karena pada barisan tiga suku $a, b, c$, bilangan tengah ($b$) tepat berada di sebelah suku pertama ($a$), hubungan perkalian keduanya langsung menunjukkan pengali tetapnya:

$$b = 4a \implies r = 4$$

Artinya, kita sudah memegang kunci gerak barisan ini: dimulai dari suatu angka awal $a$, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan $4$, dan suku setelahnya diperoleh dengan mengalikan $4$ sekali lagi.

Mengubah Suku Jadi Tumpukan Bata

Setiap suku dalam barisan geometri dapat dinyatakan dalam bentuk kelipatan dari suku pertamanya.

Sering kali kita melihat tiga variabel berbeda seperti $a, b,$ dan $c$ lalu merasa bingung bagaimana cara menjumlahkannya. Kunci penyederhanaannya adalah mengubah semua suku tersebut ke dalam satu variabel dasar yang sama.

Mari gunakan analogi tumpukan bata:

  1. Anggap nilai suku pertama ($a$) setara dengan $1$ tumpukan bata dasar ($1a$).

  2. Karena rasionya $4$, suku kedua adalah $4$ kali suku pertama, sehingga nilainya setara dengan $4$ tumpukan bata dasar ($4a$).

  3. Suku ketiga dikalikan $4$ lagi dari suku kedua, sehingga ukurannya menjadi $4 \times 4a = 16$ tumpukan bata dasar ($16a$).

Dengan menyamakan sudut pandang ini, ketiga suku yang awalnya tampak berbeda kini memiliki bentuk seragam:

$$a = 1a, \quad b = 4a, \quad c = 16a$$

Eksplorasi slider di atas memperlihatkan bagaimana suku-suku berikutnya selalu tersusun dari blok dasar $a$ yang sama, hanya saja jumlah tumpukannya bertambah secara eksponensial mengikuti nilai rasio pengalinya.

Terdapat sebuah barisan geometri dengan rasio 3. Jika suku pertama diibaratkan sebagai 1 kotak ($a$), berapa banyak kotak yang mewakili nilai suku ketiga?

  • 3 kotak (3a)
  • 9 kotak (9a)
  • 6 kotak (6a)
  • 27 kotak (27a)

Jawaban: 9 kotak (9a)

Suku kedua bernilai 3 kali suku pertama ($3a$). Suku ketiga bernilai 3 kali suku kedua, yaitu $3 \times 3a = 9a$ (atau 9 kotak). Opsi C keliru karena mengalikan rasio dengan 2 ($3 \times 2 = 6$), Opsi A adalah suku kedua, dan Opsi D adalah suku keempat ($27a$).

Kemampuan merepresentasikan suku barisan ke dalam variabel suku pertama.

Menyelesaikan Penjumlahan Bata

Total dari seluruh suku yang seragam dapat disamakan dengan total nilai yang diketahui untuk menyusun persamaan aljabar.

Setelah semua suku diseragamkan menjadi tumpukan bata dasar $a$, kita tidak perlu lagi menebak-nebak angka sembarangan untuk memenuhi kondisi jumlah barisan—seperti yang sering memicu tebakan spekulatif pada Opsi E ($32$).

Kita cukup menjumlahkan seluruh bata dasar yang ada:

$$1a + 4a + 16a = 21a$$

Ilustrasi timbangan keseimbangan dengan tumpukan 21 balok bata di sisi kiri dan pemberat 84 di sisi kanan.

Soal memberitahukan bahwa total jumlah ketiga bilangan tersebut bernilai $84$. Ini berarti $21$ bata dasar tepat seimbang dengan nilai total $84$:

$$21a = 84$$

Dari persamaan sederhana ini, kita dapat menghitung nilai dari $1$ bata dasar:

$$a = \frac{84}{21} = 4$$