Peluang Bersyarat: Transformasi Sisi Dadu
Memahami Peluang dan Ruang Sampel
Peluang adalah perbandingan antara jumlah kejadian yang kita cari dengan total semua kemungkinan yang ada.
Bayangkan dadu unik milik Ica seperti sebuah kotak berisi enam kartu angka. Kumpulan seluruh kemungkinan hasil yang bisa keluar disebut sebagai ruang sampel, sedangkan satu hasil kejadian spesifik yang kita amati disebut sebagai titik sampel.
Pada dadu unik Ica, sisi-sisi dadu memuat angka: $1, 2, 3, 4, 6,$ dan $8$. Total seluruh kartu di dalam kotak ada $6$ buah. Jika kita ingin mengetahui peluang terambilnya kartu berangka $4$, kita tinggal membandingkan banyaknya angka $4$ (yaitu $1$ buah) dengan total seluruh sisi dadu ($6$ buah):
$$\text{Peluang} = \frac{\text{Banyaknya kejadian yang dicari}}{\text{Total seluruh kemungkinan}} = \frac{1}{6}$$
Dalam sebuah kotak terdapat 4 kartu angka: 3, 4, 5, dan 8. Terdapat aturan: 'jika instruksi dijalankan, semua angka genap ditambah 1, sedangkan angka ganjil tetap.' Berapa peluang terambilnya kartu bernilai ganjil setelah instruksi tersebut dijalankan?
- 1/4
- 2/4
- 3/4
- 4/4
Jawaban: 4/4
Angka awal di dalam kotak adalah 3, 4, 5, dan 8. Angka genap (4 dan 8) masing-masing ditambah 1 sehingga menjadi 5 dan 9, sementara angka ganjil (3 dan 5) tetap. Kumpulan angka yang baru menjadi 3, 5, 5, dan 9. Karena keempat angka tersebut bernilai ganjil, maka peluang terambilnya angka bernilai ganjil adalah 4 dari 4 angka (4/4). Opsi 2/4 salah karena tidak melakukan penambahan sebelum menghitung peluang. Opsi 1/4 dan 3/4 salah karena keliru mendata jumlah angka setelah dikenai operasi.
Menerapkan instruksi ubahan himpunan dan menghitung ulang peluang
Skenario Pertama: Lemparan Ganjil
Mengubah isi himpunan sesuai instruksi bersyarat akan membentuk ruang sampel baru tanpa mengubah total anggota.
Ketika aturan menyebutkan bahwa lemparan pertama memunculkan angka ganjil, kita ibaratkan mendapat instruksi untuk menukar kartu bertuliskan angka ganjil di dalam kotak kartu, sementara kartu lainnya tidak diganggu. Pada dadu awal ($1, 2, 3, 4, 6, 8$), hanya ada dua kartu ganjil, yaitu angka $1$ dan angka $3$.
Sesuai aturan, angka ganjil harus dikalikan dua:
Kartu $1$ berubah menjadi $1 \times 2 = 2$
Kartu $3$ berubah menjadi $3 \times 2 = 6$
Kartu genap ($2, 4, 6, 8$) nilainya tetap
Kini susunan enam kartu pada dadu baru adalah: $2, 2, 6, 4, 6,$ dan $8$. Total sisi tetap $6$ buah, dan banyaknya angka $4$ pada dadu baru ini adalah $1$ buah. Maka peluang terambilnya angka $4$ pada kondisi ini adalah $\frac{1}{6}$.
Skenario Kedua: Lemparan Genap
Kondisi bersyarat yang berbeda harus dieksekusi secara terpisah untuk menemukan ruang sampel alternatifnya.
Sekarang, mari kita tinjau skenario sebaliknya: bagaimana jika lemparan pertama menghasilkan angka genap? Dadu awal memuat empat angka genap, yaitu $2, 4, 6,$ dan $8$. Instruksi menyatakan bahwa seluruh angka genap harus dibagi dua, sedangkan kartu bernilai ganjil dibiarkan tetap.
Dengan menjalankan instruksi tersebut pada masing-masing kartu:
Kartu $2$ berubah menjadi $2 \div 2 = 1$
Kartu $4$ berubah menjadi $4 \div 2 = 2$
Kartu $6$ berubah menjadi $6 \div 2 = 3$
Kartu $8$ berubah menjadi $8 \div 2 = 4$
Kartu ganjil ($1$ dan $3$) nilainya tetap
Setelah seluruh kartu dikumpulkan kembali, susunan kondisi dadu baru ini adalah: $1, 1, 3, 2, 3,$ dan $4$. Perhatikan bahwa jumlah kartu tidak menyusut, wadah dadu tetap memiliki $6$ sisi utuh. Dari keenam sisi tersebut, angka $4$ muncul tepat $1$ kali. Peluang munculnya angka $4$ pada kondisi ini adalah $\frac{1}{6}$.