Kendala Aljabar Parameter & Miskonsepsi Domain
Batas Bawah dan Nol
Syarat $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ mencakup angka nol dan pecahan, bukan sebatas bilangan bulat positif. Dalam konteks pertidaksamaan linear, batasan ini dinamakan batasan non-negatif. Artinya, daerah penyelesaian berada di kuadran I pada bidang kartesius, di mana nilai variabel tidak boleh bernilai negatif, tetapi angka nol dan bilangan desimal tetap sah untuk digunakan.
Pada diagram di atas, seluruh area kuadran I diarsir sebagai daerah yang diizinkan oleh syarat $x \ge 0$ dan $y \ge 0$. Titik asal $(0,0)$ terletak tepat di pangkal sumbu koordinat dan menjadi bagian sah dari daerah penyelesaian. Anggap sistem pertidaksamaan seperti lahan berpagar: setiap pertidaksamaan bertindak sebagai pagar batas, dan daerah penyelesaian adalah luas lahan riil di dalam pagar yang sah untuk dipijak. Titik pangkal $(0,0)$ adalah salah satu sudut dasar lahan tersebut.
Jika kita mengevaluasi fungsi tujuan $f(x, y) = x + y$ pada titik pojok $(0,0)$, kita mendapatkan:
$$f(0, 0) = 0 + 0 = 0$$
Karena nilai $x$ dan $y$ tidak boleh bernilai negatif, maka nilai terkecil yang mungkin dihasilkan oleh $x + y$ pada lahan ini adalah $0$. Hal ini langsung membuktikan bahwa pernyataan Opsi E (Nilai minimum dari $x + y$ adalah $1$) bernilai salah, karena nilai minimum sesungguhnya tercapai di titik asal dengan nilai $0$.
Diberikan syarat himpunan penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0. Tentukan kebenaran pernyataan seputar syarat ini!
- Nilai x dan y harus selalu bilangan bulat. — Salah
- Kombinasi nilai x = 0 dan y = 0 diperbolehkan dalam daerah tersebut. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena tanda pertidaksamaan lebih besar dari atau sama dengan nol berlaku pada semua bilangan riil non-negatif termasuk bilangan desimal dan pecahan, bukan hanya bilangan bulat. Pernyataan 2 Benar karena simbol '≥' memuat tanda sama dengan, sehingga x = 0 dan y = 0 sah menjadi anggota daerah penyelesaian.
Memahami batasan nilai non-negatif pada sistem kuadran
Eliminasi Bawa Huruf
Langkah eliminasi-substitusi sistem persamaan dua garis bisa diselesaikan walau menyertakan huruf parameter. Dalam banyak masalah pemrograman linear tingkat lanjut, salah satu garis batas lahan belum diketahui posisinya secara pasti karena masih memuat parameter variabel, misalnya konstanta $b$. Kita tidak perlu panik; perlakukan huruf $b$ sama seperti bilangan konstanta biasa selama proses aljabar berlangsung.
Grafik di atas memperlihatkan dua garis batas yang saling memotong. Garis pertama, $2x + y = 8$, posisinya sudah tetap (garis solid). Garis kedua, $x + 2y = b$, merupakan pagar yang letaknya bergantung pada nilai $b$ (garis putus-putus). Untuk mencari koordinat titik pojok tempat kedua pagar ini bertemu, kita gunakan metode substitusi.
Dari persamaan kedua, ubah variabel $x$ ke dalam bentuk fungsi $y$ dan $b$:
$$x = b - 2y$$
Substitusikan bentuk $x$ ini ke dalam persamaan garis pertama:
$$\begin{aligned} 2(b - 2y) + y &= 8 \\ 2b - 4y + y &= 8 \\ 2b - 3y &= 8 \\ -3y &= 8 - 2b \\ y &= \frac{2b - 8}{3} \end{aligned}$$
Setelah mendapatkan ordinat $y$, substitusikan kembali ke bentuk $x = b - 2y$ untuk mendapatkan absis $x$:
$$\begin{aligned} x &= b - 2\left(\frac{2b - 8}{3}\right) \\ &= \frac{3b - 2(2b - 8)}{3} \\ &= \frac{3b - 4b + 16}{3} = \frac{16 - b}{3} \end{aligned}$$
Koordinat titik potong kedua garis batas tersebut dinyatakan secara aljabar sebagai:
$$\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$$
Dengan demikian, seluruh titik pojok yang membatasi lahan penyelesaian adalah titik asal $(0,0)$, perpotongan garis pertama dengan sumbu $x$ yaitu $(4,0)$, perpotongan garis kedua dengan sumbu $y$ yaitu $(0, \frac{b}{2})$, serta titik potong antargaris $\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$.
Diberikan dua persamaan garis yaitu x + y = 5 dan 2x - y = c. Berapa nilai y pada koordinat titik potong kedua garis tersebut dinyatakan dalam c?
- y = (10 - c)/3
- y = (c - 10)/3
- y = 10 - c
- y = (10 + c)/3
Jawaban: y = (10 - c)/3
Dari persamaan x + y = 5 diperoleh x = 5 - y. Substitusikan ke persamaan kedua: 2(5 - y) - y = c => 10 - 2y - y = c => 10 - 3y = c => 3y = 10 - c => y = (10 - c)/3. Opsi B salah tanda saat memindahkan ruas, Opsi C lupa membagi dengan koefisien 3, dan Opsi D salah tanda penjumlahan.
Mensubstitusi satu persamaan ke persamaan lainnya yang memuat parameter
Mematok Posisi Pagar
Nilai maksimum fungsi tujuan dapat dipakai secara terbalik untuk menemukan nilai pasti konstanta batas garis yang belum diketahui. Jika biasanya kita menghitung nilai maksimum dari batas lahan yang sudah lengkap, di sini alurnya dibalik: kita memanfaatkan informasi nilai maksimum $5$ untuk mengunci letak pagar $x + 2y = b$.
Mari kita evaluasi fungsi tujuan $f(x, y) = x + y$ pada titik potong yang masih memuat parameter $b$:
$$\begin{aligned} f\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right) &= \frac{16 - b}{3} + \frac{2b - 8}{3} \\ &= \frac{16 - b + 2b - 8}{3} \\ &= \frac{8 + b}{3} \end{aligned}$$
Karena soal menyatakan bahwa nilai maksimum dari fungsi tujuan ini adalah $5$, kita samakan bentuk aljabar di atas dengan angka $5$:
$$\begin{aligned} \frac{8 + b}{3} &= 5 \\ 8 + b &= 15 \\ b &= 7 \end{aligned}$$
Perhitungan ini langsung memastikan bahwa Opsi A (Nilai $b$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $7$) bernilai benar.
Sekarang, kita substitusikan kembali nilai $b = 7$ ke dalam koordinat titik potong antargaris yang telah kita temukan sebelumnya:
$$x = \frac{16 - 7}{3} = \frac{9}{3} = 3$$
$$y = \frac{2(7) - 8}{3} = \frac{14 - 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
Koordinat titik pojok yang memberikan nilai maksimum tersebut tepat berada di $(3, 2)$. Temuan ini membuktikan bahwa Opsi B (Titik pojok yang memberikan nilai maksimum terletak pada koordinat $(3, 2)$) bernilai benar.