Siklisitas Angka Satuan Bilangan Berpangkat

Operasi Angka Satuan

Angka satuan dari hasil perkalian dua bilangan hanya ditentukan oleh hasil kali angka satuan bilangan penyusunnya.

Ketika berhadapan dengan bentuk perkalian bilangan berpangkat seperti $A \times B$, kita tidak boleh memanipulasi eksponennya secara sembarangan. Miskonsepsi yang sering muncul adalah langsung mengalikan digit terakhir dari kedua pangkat (seperti mengalikan $6$ dan $7$ dari pangkat hingga menghasilkan Opsi A) atau menggabungkan basis lalu mengurangkan pangkatnya (seperti mencoba membuat $28^1$ hingga menghasilkan Opsi D). Sifat perpangkatan hanya mengizinkan penggabungan jika basisnya bernilai identik atau pangkatnya sama persis.

Diagram perkalian bentuk aljabar puluhan dan satuan membuktikan digit satuan hanya ditentukan oleh perkalian angka satuan.

Bukti aljabar sederhana membuktikan aturan ini. Bilangan bulat apa pun dapat diuraikan menjadi komponen puluhan dan satuannya:

$$(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10ad + 10bc + bd$$

Tiga suku pertama ($100ac$, $10ad$, dan $10bc$) memiliki faktor $10$, sehingga selalu bernilai nol jika dihitung dalam sisa bagi terhadap $10$ (Modulo $10$). Akibatnya, satu-satunya bagian yang membentuk Angka Satuan adalah suku terakhir, yaitu hasil kali $b \times d$. Sebagai ilustrasi, pada perkalian $17 \times 14$, kita cukup mengalikan digit satuannya saja: $7 \times 4 = 28$, sehingga angka satuannya adalah $8$.

Berapakah angka satuan dari hasil $1238 \times 567$?

Jawaban: 6

Angka satuan dari $1238 \times 567$ murni ditentukan oleh perkalian angka satuannya, yaitu $8 \times 7 = 56$. Digit terakhir dari $56$ adalah $6$. Pengecoh 5 muncul jika satuan dijumlahkan ($8+7=15$), pengecoh 8 muncul jika hanya mengambil satuan dari bilangan pertama, dan 2 muncul dari perkalian digit puluhan.

Angka satuan hasil perkalian sama dengan angka satuan dari perkalian satuan pembentuknya.

Pola Siklik Perpangkatan

Angka satuan bilangan yang dipangkatkan terus-menerus akan berulang membentuk siklus yang tetap.

Sifat berulang secara periodik ini disebut dengan Siklisitas. Jika kita menghitung nilai perpangkatan suatu bilangan secara berurutan, digit satuannya tidak tersebar acak, melainkan berputar dalam barisan tertutup. Banyaknya suku unik sebelum pola tersebut mulai berulang disebut Panjang Siklus.

Tabel nilai perpangkatan basis 7 dan basis 4 yang memperlihatkan siklisitas angka satuan.

Perhatikan barisan perpangkatan untuk basis $7$ dan basis $4$:

Untuk basis $7$:
$$7^1 = 7$$
$$7^2 = 49 \quad (\text{satuan } 9)$$
$$7^3 = 343 \quad (\text{satuan } 3)$$
$$7^4 = 2401 \quad (\text{satuan } 1)$$
$$7^5 = 16807 \quad (\text{satuan } 7, \text{ mulai berulang})$$
Pola angka satuannya adalah barisan $7, 9, 3, 1$ dengan panjang siklus $4$.
Untuk basis $4$:
$$4^1 = 4$$
$$4^2 = 16 \quad (\text{satuan } 6)$$
$$4^3 = 64 \quad (\text{satuan } 4, \text{ mulai berulang})$$
Pola angka satuannya adalah barisan $4, 6$ dengan panjang siklus $2$.

Menghitung angka satuan hanya dari salah satu basis akan mengabaikan pengali lainnya, seperti hanya mengambil satuan basis $4$ yaitu $4$ (Opsi B) atau hanya mengambil satuan basis $7$ yaitu $9$ (Opsi E). Kedua basis harus dihitung secara mandiri sebelum digabungkan.

Jika diurutkan, angka satuan dari $2^1, 2^2, 2^3, 2^4$, dan $2^5$ berturut-turut adalah $2, 4, 8, 6$, dan $2$. Berapakah panjang siklus angka satuan untuk basis $2$?

Jawaban: 4

Urutan angka satuannya adalah $2, 4, 8, 6$, lalu kembali ke $2$. Karena pola berulang tepat setelah $4$ suku unik, panjang siklusnya adalah 4. Pengecoh 2 salah karena hanya melihat pangkat awal atau basis genap, 5 salah karena menghitung sampai angka berulang pertama muncul ($2,4,8,6,2$), dan 6 keliru karena mengambil angka terbesar dalam barisan.

Panjang siklus angka satuan dari perpangkatan bilangan tertentu ditentukan oleh banyaknya elemen sebelum urutan berulang.

Menentukan Urutan dengan Sisa Bagi

Posisi angka satuan dalam siklus ditentukan oleh sisa pembagian pangkat dengan panjang siklus, bukan oleh dua digit terakhir dari eksponen itu sendiri.

Karena pola angka satuan berulang secara periodik tiap kelipatan panjang siklusnya, kita menggunakan operasi Modulo (sisa pembagian) antara eksponen dengan panjang siklus tersebut. Aturan pemetaan posisi siklusnya adalah:

Sisa pembagian $1$ memetakan ke elemen ke-$1$ dalam siklus.
Sisa pembagian $2$ memetakan ke elemen ke-$2$ dalam siklus.
Sisa pembagian $3$ memetakan ke elemen ke-$3$ dalam siklus.
Sisa pembagian $0$ (habis dibagi) memetakan ke elemen terakhir (ke-panjang siklus) dalam urutan tersebut.

Diagram blok barisan yang menunjukkan reduksi pangkat besar ke posisi siklus melalui operasi sisa bagi.

Mari kita hitung posisi untuk masing-masing eksponen:

Untuk basis $7$ (panjang siklus $4$): Pangkatnya adalah $2026$. Kita bagi $2026$ dengan $4$:
$$2026 = 4 \times 506 + 2 \quad (\text{sisa } 2)$$
Sisa $2$ menunjukkan bahwa angka satuannya menempati urutan ke-$2$ pada siklus $7, 9, 3, 1$, yaitu $9$.
Untuk basis $4$ (panjang siklus $2$): Pangkatnya adalah $2027$. Kita bagi $2027$ dengan $2$:
$$2027 = 2 \times 1013 + 1 \quad (\text{sisa } 1)$$
Sisa $1$ menunjukkan bahwa angka satuannya menempati urutan ke-$1$ pada siklus $4, 6$, yaitu $4$.

Diketahui pola angka satuan basis $3$ memiliki panjang siklus $4$ (yaitu $3, 9, 7, 1$). Berapakah angka satuan dari $3^{100}$?

Jawaban: 1

Pangkat $100$ jika dibagi dengan panjang siklus ($4$) menghasilkan $100 = 4 \times 25 + 0$, yang berarti sisa $0$. Dalam barisan berulang periodik, sisa $0$ menempati posisi terakhir dalam siklus (elemen ke-$4$), yaitu $1$. Pengecoh 3 keliru mengira sisa 0 menunjuk ke elemen pertama ($3^0 = 1$ bukan dalam siklus eksponen positif berpola $3, 9, 7, 1$), sedangkan 7 dan 9 timbul dari kesalahan hitung pembagian atau menebak elemen ganjil secara acak.

Menentukan elemen siklus angka satuan melalui operasi sisa pembagian eksponen.