Logika Peluang Majemuk Tanpa Pengembalian

Efek Domino 'Tanpa Pengembalian'

Mari kita mulai dari logika dasar peluang. Peluang secara matematis selalu berakar dari satu rumus sederhana: jumlah kejadian yang kita inginkan dibagi total kemungkinan.

Di soal, kita dihadapkan pada skenario pengambilan tanpa pengembalian. Bayangkan kamu punya kotak berisi 8 bola. Ketika soal menyatakan "pengambilan pertama dipastikan bola merah", ini bukan sekadar kemungkinan lagi, melainkan sebuah fakta yang sudah fix terjadi. Bola merah itu sudah keluar dari kotak dan masuk ke kantongmu.

Apa konsekuensi matematisnya untuk pengambilan kedua dan ketiga?

1. Total bola (penyebut) dalam kotak mutlak berkurang. Awalnya ada $8$ bola, sekarang tersisa $7$ bola. Ini adalah ruang sampel baru kita.

2. Jumlah bola spesifik (pembilang) juga berubah. Dari yang tadinya ada $2$ Merah, $4$ Hitam, dan $2$ Hijau, kini rincian di dalam kotak adalah: $1$ Merah, $4$ Hitam, dan $2$ Hijau.

Kesalahan paling umum adalah tetap menggunakan penyebut $8$ untuk perhitungan selanjutnya. Padahal, dunia di dalam kotak tersebut sudah berubah sejak bola pertama diambil!

Memecah Kode 'Warna Berbeda'

Target kita sekarang adalah mendapatkan tiga bola dengan warna berbeda. Karena bola pertama wajib Merah ($M$), maka bola kedua dan ketiga hanya boleh berwarna Hijau ($Hj$) dan Hitam ($Hk$).

Pertanyaan pentingnya: Apakah urutan pengambilan itu berpengaruh?

Secara matematis, karena bola diambil satu per satu secara berurutan, maka mendapatkan "Hijau lalu Hitam" adalah kejadian yang sama sekali berbeda dengan mendapatkan "Hitam lalu Hijau". Kenapa? Karena saat kita mengambil Hijau di tarikan kedua, kondisi kotak (jumlah bola sisa) akan berbeda dibandingkan jika kita menarik Hitam di tarikan kedua.

Oleh karena itu, target "warna berbeda" harus kita pecah menjadi dua skenario/rute yang spesifik dan kaku:

1. Skenario 1: Merah $\rightarrow$ Hijau $\rightarrow$ Hitam

2. Skenario 2: Merah $\rightarrow$ Hitam $\rightarrow$ Hijau

Aturan Perkalian: Peluang Skenario

Bagaimana cara menghitung total peluang dari satu rentetan kejadian? Kita menggunakan Aturan Perkalian. Jika kejadian A LALU kejadian B terjadi, peluangnya adalah peluang A dikali peluang B.

Mari kita hitung Skenario 1 (Merah $\rightarrow$ Hijau $\rightarrow$ Hitam). Karena pengambilan pertama Merah sudah fix terjadi (peluangnya dianggap $1$), kita langsung fokus pada pengambilan kedua dan ketiga dari sisa $7$ bola di kotak:

• Ambil ke-2 (Hijau): Di dalam kotak ada $2$ bola Hijau dari total $7$ bola tersisa. Peluangnya = $\frac{2}{7}$.

• Ambil ke-3 (Hitam): Bola Hijau tadi masuk kantong (gak dibalikin!). Sekarang total bola sisa $6$. Bola Hitam masih utuh $4$. Peluangnya = $\frac{4}{6}$.

• Peluang Skenario 1 adalah $\frac{2}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{8}{42}$.

Mari hitung rute Skenario 2 (Merah $\rightarrow$ Hitam $\rightarrow$ Hijau):

• Ambil ke-2 (Hitam): Ada $4$ bola Hitam dari $7$ sisa bola. Peluang = $\frac{4}{7}$.

• Ambil ke-3 (Hijau): Bola Hitam keluar, sisa $6$ bola di kotak. Bola Hijau utuh $2$. Peluang = $\frac{2}{6}$.

• Peluang Skenario 2 adalah $\frac{4}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{42}$.