Menaklukkan Akar Bertingkat Lapis Demi Lapis
Aturan Emas Akar Bertingkat
Pernah lihat soal matematika yang bentuknya berlapis-lapis kayak gini? $\frac14 \sqrt{32\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}}$
Kelihatannya memang bikin pusing karena panjang banget. Saat ketemu bentuk yang bertumpuk begini, aturan utamanya sama dengan operasi matematika campuran biasa: selesaikan dari kurung yang paling dalam.
Dalam matematika, tanda akar panjang itu ibarat 'tanda kurung' yang mengurung operasi di bawahnya. Menurut aturan urutan operasi matematika (sering disingkat PEMDAS/BODMAS), kita harus selalu mengevaluasi bagian terdalam dari sebuah ekspresi terlebih dahulu.
Gambar: User:Fanghong / User:Gnomz007, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Bedanya, kalau di persamaan matematika, kita justru harus menyelesaikan dari boneka (akar) yang paling kecil/dalam untuk bisa membuka lapisan di luarnya (prinsip Inside-Out).
Karena itu, jangan hiraukan pecahan $\frac14$ di depan atau angka $32$ di awal. Fokuskan matamu langsung ke ujung paling ujung dari akar tersebut!
Langkah pertama yang paling tepat saat menghadapi operasi akar yang berlapis-lapis adalah...
- A. Menghitung akar terluar terlebih dahulu.
- B. Mengalikan pecahan di depan dengan angka pertama di dalam akar.
- C. Mencari bentuk akar yang letaknya paling dalam dan menyelesaikannya.
- D. Menyederhanakan seluruh angka genap secara bersamaan.
Jawaban: C. Mencari bentuk akar yang letaknya paling dalam dan menyelesaikannya.
Sama seperti urutan operasi matematika pada tanda kurung berlapis, kita harus selalu mengevaluasi akar (yang bertindak sebagai pengelompokan) dari bagian paling dalam ke luar.
Akar bertingkat harus selalu mulai diselesaikan dari akar yang letaknya paling dalam.
Menghitung Lapis Pertama
Oke, mata kita sekarang sudah tertuju pada lapisan paling dalam dari persamaan, yaitu bagian $8\sqrt{4}$.
Ada sebuah konsep matematika penting yang sering bikin bingung di sini: Perkalian Tersirat (Implied Multiplication).
Dalam matematika penulisan huruf atau angka yang saling menempel langsung dengan tanda kurung, variabel, atau tanda akar — tanpa ada lambang tambah atau kurang di tengahnya — itu menandakan operasi perkalian.
Jadi, ketika kamu melihat angka $8$ menempel dengan $\sqrt{4}$, itu artinya adalah $8 \times \sqrt{4}$.
Titik Rawan: Jebakan Perkalian
Sekarang kita tiba di bagian yang paling sering bikin orang kurang teliti dan salah hitung.
Di halaman sebelumnya kita sudah menghitung bahwa $\sqrt{4} = 2$. Saat sebuah akar sudah dihitung hasilnya, "rumah akar"-nya lenyap. Angka $2$ ini sekarang berdiri sendiri tanpa atap, dan langsung berhadapan dengan angka $8$ di depannya.
Seperti yang kita bahas sebelumnya, hubungannya adalah perkalian. Kita harus mengalikan $8 \times 2 = 16$.
Angka $16$ hasil perkalian ini sekarang menjadi penghuni akar lapisan kedua. Susunannya mengerucut dan menyusut menjadi sisa akar yang lebih pendek!
Jika bagian terdalam suatu akar bertingkat adalah \sqrt{... 3\sqrt{25}}, tentukan Benar/Salah untuk tindakan berikut ini saat menyelesaikannya!
- Hasil dari \sqrt{25} akan tetap ditulis di dalam tanda akar menjadi \sqrt{5} lalu digabungkan. — Salah
- Angka 5 (dari \sqrt{25}) langsung dikalikan dengan angka 3 di depannya. — Benar
- Angka 3 ditambahkan dengan 5 menghasilkan akar baru yang berisi angka 8. — Salah
Angka 3 menempel pada akar berarti 3 dikali hasil akar tersebut. Akar 25 adalah 5. Jadi 3 x 5 = 15. Tanda akar untuk 25 sudah hilang.
Hasil akar terdalam kehilangan tanda akarnya dan dikalikan (bukan dijumlahkan) dengan angka di depan akar tersebut untuk membentuk isi akar lapisan luar.