Paritas Bilangan: Pendekatan Aljabar Formal

Mendefinisikan Ganjil & Genap

Pernah merhatiin kenapa angka genap kerasa lebih "rapi" dibanding ganjil? Kalau kamu punya beberapa pasang kaos kaki, kamu tahu pasti jumlahnya genap karena semuanya berpasangan sempurna. Gak ada yang jomlo. Nah, di matematika, intuisi ini diterjemahkan ke dalam bentuk notasi aljabar.

Setiap bilangan genap pasti habis dibagi 2. Artinya, semua bilangan genap bisa kita tulis sebagai kelipatan dua: $2k$ (di mana $k$ adalah bilangan bulat). Sebaliknya, bilangan ganjil adalah bilangan genap yang "kelebihan satu" atau ada yang jomlo. Bentuk aljabarnya adalah $2k + 1$.

Kenapa kita butuh notasi ini? Karena di matematika, kita gak bisa membuktikan suatu aturan cuma dengan nyoba 1-2 angka (misal: "Oh, 2+4 itu genap, berarti semua genap ditambah genap itu genap"). Dengan mengubahnya jadi bentuk $2k$ dan $2k+1$, kita bisa mewakili seluruh bilangan yang jumlahnya tak terhingga dalam satu persamaan! Pembuktian kita jadi absolut.

Pembuktian Syarat Perkalian

Di soal tadi, dikasih tahu kalau $x(y+1)$ menghasilkan bilangan ganjil. Kamu mungkin ingat aturannya: hasil kali akan ganjil HANYA JIKA semua bilangan yang dikalikan juga ganjil. Tapi, dari mana datangnya aturan ini? Mari kita buktikan secara deduktif pakai aljabar yang baru kita pelajarin.

Coba kita kalikan bilangan genap ($2a$) dengan sembarang bilangan $b$. Hasilnya adalah $(2a) \times b = 2(ab)$. Perhatiin deh, ada angka $2$ di depannya! Artinya, berapapun nilai $b$ (mau ganjil atau genap), selama ada satu saja faktor genap, angka 2 bisa "ditarik keluar" (difaktorkan) dan otomatis bikin seluruh hasilnya jadi genap.

Lalu gimana kalau ganjil dikali ganjil? $(2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1$ Tiga suku pertama punya faktor 2, jadi bisa kita tarik keluar: $= 2(2ab + a + b) + 1$ Nah, bagian $2ab + a + b$ itu kan cuma bilangan bulat biasa (misal kita sebut $M$). Jadi bentuknya adalah $2M + 1$. Terbukti absolut, ganjil kali ganjil pasti ganjil!

Pembuktian Syarat Penjumlahan

Soal juga bilang kalau $y + z$ itu genap. Karena kita udah tahu dari halaman sebelumnya kalau $y$ itu genap, berarti $z$ harus apa? Yup, intuisi kamu mungkin langsung jawab $z$ itu genap. Tapi lagi-lagi, mari kita pastikan dengan lensa aljabar.

Intinya begini: saat kita menjumlahkan bilangan, bagian "pasangan genap" ($2k$) gak akan ngerubah paritas. Yang bikin hasil berubah adalah si "ekor $+1$" dari bilangan ganjil.

• Genap + Genap: $2a + 2b = 2(a+b)$ $\rightarrow$ Gak ada ekor, hasil murni genap.

• Ganjil + Genap: $(2a+1) + 2b = 2(a+b) + 1$ $\rightarrow$ Ekor $+1$-nya jomlo, jadi hasilnya ganjil.

• Ganjil + Ganjil: $(2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)$ $\rightarrow$ Dua ekor jomlo $+1$ dan $+1$ bersatu membentuk pasangan $+2$, ditarik masuk ke faktor $2$, jadinya genap!

Karena $y+z$ harus genap, dan $y$ itu udah ketahuan genap (berbentuk $2n$), maka $z$ tidak boleh punya ekor $+1$. Kalau $z$ punya ekor (ganjil), hasilnya bakal jadi ganjil. Kesimpulannya, $z$ juga pasti genap.