Aljabar Operasi Simbolik

Operasi Biner sebagai Fungsi

Simbol $*$ dan $\#$ dalam soal ini bukanlah operasi standar, melainkan representasi dari fungsi dua variabel yang didefinisikan secara lokal.

Diagram alir pemetaan fungsi operasi biner dengan dua input masuk ke aturan pemetaan dan menghasilkan satu output.

Dalam aljabar abstrak, sebuah operasi biner pada suatu himpunan $S$ secara formal didefinisikan sebagai pemetaan fungsi $f: S \times S \to S$. Aturan ini mengambil sepasang nilai input yang disebut operand dan memetakannya menjadi tepat satu nilai keluaran. Notasi $a * b$ sejatinya hanyalah cara penulisan alternatif (infix) untuk notasi fungsi multivariat $f(a, b) = a^2 + b$.

Aturan ini bersifat lokal, yang berarti definisinya hanya berlaku mutlak pada konteks soal yang sedang dihadapi. Simbol seperti $*$, $\#$, atau $\Delta$ tidak memiliki arti bawaan aritmatika baku kecuali soal tersebut menyatakannya secara eksplisit.

Sebagai contoh pemahaman konseptual, jika didefinisikan sebuah operasi $\Delta$ dengan aturan $x \Delta y = x^y$, maka ekspresi $2 \Delta 3$ berarti mengevaluasi fungsi pada pasangan $(2, 3)$, menghasilkan $2^3 = 8$. Kunci utama dari tipe soal ini adalah murni mematuhi formula algoritma lokal yang diberikan.

Didefinisikan sebuah operasi biner lokal $p \oplus q = p - 2q$. Bagaimana cara formal yang tepat untuk memandang operasi tersebut?

  • Sebagai fungsi $f(p, q)$ yang memetakan pasangan $(p, q)$ menjadi nilai $p$ dikurangi dua kali $q$.
  • Sebagai variasi dari operasi penjumlahan baku karena terdapat simbol plus di dalam lingkarannya.
  • Sebagai rumus baku deret dan barisan aritmatika universal yang wajib dihafalkan formulanya.
  • Sebagai sebuah persamaan linear dua variabel $p$ dan $q$ yang harus dicari himpunan solusinya.

Jawaban: Sebagai fungsi $f(p, q)$ yang memetakan pasangan $(p, q)$ menjadi nilai $p$ dikurangi dua kali $q$.

Dalam aljabar, simbol operasi custom seperti $\oplus$ merupakan fungsi lokal dua variabel $f(p, q) = p - 2q$, bukan operasi penjumlahan biasa ataupun persamaan yang mencari nilai variabel. Pilihan B, C, dan D salah karena menyamakan simbol custom dengan operasi standar atau persamaan aljabar baku.

Mengidentifikasi bahwa operasi simbolik adalah fungsi lokal dua variabel dengan definisi spesifik, bukan operasi standar.

Hierarki Urutan Operasi

Ekspresi bertingkat yang melibatkan operasi custom harus diselesaikan dari dalam tanda kurung terlebih dahulu.

Pohon sintaks ekspresi matematika menunjukkan evaluasi operasi dalam kurung sebelum operasi luar.

Struktur ekspresi matematika dapat dipandang secara hierarkis layaknya pohon sintaks (syntax tree). Pada bentuk $(5 \# 3) * 4$, terdapat dua tingkatan operasi yang tersusun seperti fungsi komposisi. Tanda kurung bertindak sebagai pembatas instruksi eksplisit: sub-ekspresi di dalam kurung harus direduksi menjadi satu nilai skalar tunggal sebelum diteruskan ke operasi tingkat luar ($*$).

Dalam struktur aljabar umum, sebuah operasi baru tidak dijamin memiliki sifat distributif terhadap operasi lainnya kecuali dapat dibuktikan secara matematis. Oleh karena itu, ekspresi ini tidak boleh didistribusikan menjadi $(5 * 4) \# (3 * 4)$. Distribusi sembarangan mengasumsikan sifat gelanggang (ring structure) yang belum tentu ada pada operasi buatan.

Eksekusi dan Sifat Non-Komutatif

Substitusi nilai ke dalam definisi operasi biner sangat bergantung pada posisi operand ($a$ dan $b$), di mana kesalahan urutan akan mendistorsi hasil.

Mari kita bedah evaluasi ekspresi $(5 \# 3) * 4$ secara terstruktur:

  1. Evaluasi Fungsi Terdalam: Sub-ekspresi $(5 \# 3)$ mengacu pada definisi $a \# b = 2a - b$. Di sini, posisi operand menentukan peran aljabar: operand pertama $a = 5$ dan operand kedua $b = 3$.

    $$5 \# 3 = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$$

    Operasi ini bersifat non-komutatif, artinya menukar urutan operand menghasilkan nilai yang berbeda ($5 \# 3 \neq 3 \# 5$). Jika posisi operand tertukar menjadi $2(3) - 5 = 1$, lalu dievaluasi terbalik pada tahap berikutnya sebagai $4^2 + 1$, hasil akhirnya akan meleset menjadi $17$ (Opsi A).

  2. Evaluasi Operasi Luar: Setelah fungsi dalam kurung bernilai $7$, ekspresi kini tereduksi menjadi $7 * 4$. Aturan pemetaan beralih ke fungsi kedua, yaitu $a * b = a^2 + b$. Dengan memasukkan operand pertama $a = 7$ dan operand kedua $b = 4$, diperoleh:

    $$7 * 4 = 7^2 + 4 = 49 + 4 = 53$$

    Hasil komputasi yang tepat adalah $53$ (Opsi E).

Didefinisikan operasi biner lokal $x \nabla y = y^2 - x$. Berapakah nilai dari ekspresi bertingkat $(3 \nabla 4) \nabla 2$?

  • $165$
  • $7$
  • $-9$
  • $1$

Jawaban: $-9$

Langkah 1: Evaluasi dalam kurung $(3 \nabla 4)$ dengan $x=3, y=4 \implies y^2 - x = 4^2 - 3 = 13$. Langkah 2: Evaluasi hasil terhadap operand luar, $13 \nabla 2$, dengan $x=13, y=2 \implies 2^2 - 13 = 4 - 13 = -9$. Opsi A salah karena membalik rumus menjadi $13^2 - 2$. Opsi B salah karena membalik tahap pertama menjadi $3^2 - 4 = 5$ lalu $5^2 - 2 = 23$ atau sejenisnya. Opsi D salah karena hanya menghitung ekspresi dalam kurung.

Mengeksekusi operasi biner bertingkat dengan mensubstitusi posisi operand secara tepat sesuai definisi pemetaan.