Dadu, Partisi, dan Stars & Bars
Jebakan Ruang Sampel
Pernah kepikiran nggak, kenapa sih di soal peluang dadu, kita sering banget pakai penyebut kayak $6^4$? Angka ini nggak muncul dari langit, melainkan datang dari Aturan Perkalian: ada 6 opsi untuk dadu pertama, dikali 6 opsi dadu kedua, dan seterusnya.
Kalau ruang sampel (penyebut) nganggep urutan itu penting, maka perhitungan kejadian yang memenuhi syarat (pembilang) juga harus menganggap urutan penting biar peluangnya konsisten. Artinya, kombinasi angka $(1, 2, 3, 4)$ itu dihitung terpisah dan beda dengan kejadian $(4, 3, 2, 1)$.
Tabel interaktif di atas ngebuktiin kalau di dunia peluang dadu, (1, 2) itu beda alamat sama (2, 1). Jadi, saat kamu nemuin "bahan baku" himpunan angka kayak {1, 1, 1, 4}, kamu belum selesai. Kamu baru nemuin apa aja angkanya, tapi belum ngitung ada berapa banyak cara menyusunnya.
Tentukan apakah pernyataan mengenai ruang sampel dadu berikut Benar atau Salah!
- Penyebut $6^4$ mensyaratkan dadu 1 dan dadu 2 dianggap sebagai entitas yang berbeda. — Benar
- Keluarnya angka 2 di dadu pertama dan 3 di dadu kedua dihitung sama dengan 3 di dadu pertama dan 2 di dadu kedua. — Salah
1) Benar. Karena penyebutnya $6^n$, kita menganggap setiap dadu unik (misal dibedakan warnanya). 2) Salah. Kombinasi angka yang sama tapi urutan keluarnya beda dihitung sebagai kejadian terpisah.
Ruang sampel yang dihitung dengan Aturan Perkalian menganggap urutan/posisi kemunculan sebagai kejadian yang berbeda.
Dari Partisi ke Permutasi
Gambar: Diacritica, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Sekarang kita udah sepakat kalau urutan dadu itu penting. Kalau dijembrengin manual, kombinasi mata dadu yang kalau dijumlah hasilnya 7 itu ada tiga kelompok angka (partisi): $1, 1, 1, 4$, $1, 1, 2, 3$, dan $1, 2, 2, 2$. Pertanyaannya, ada berapa banyak cara nyusun masing-masing partisi ke 4 dadu?
Di sinilah kita pakai rumus Permutasi Unsur Sama. Karena ada dadu yang angkanya kembar, kita nggak bisa sekadar pakai $4!$. Kita harus ngebagi dengan faktorial dari jumlah unsur yang kembar biar nggak ngitung ganda.
Kalau ditotalin semua, $4 + 12 + 4 = 20$ kejadian. Ini adalah cara manual mendaftar kemudian mempermutasikan.
Berapa banyak cara berbeda menyusun angka dari partisi {1, 2, 3, 5} pada 4 dadu?
- A. 4 cara
- B. 6 cara
- C. 12 cara
- D. 24 cara
- E. 36 cara
Jawaban: D. 24 cara
Gunakan permutasi unsur sama: 4 dadu, tapi ada dua angka '1', jadi 4! / 2! = 24 / 2 = 12 cara. Eh tunggu, pertanyaannya beda, kalau himpunannya {1,2,3,4} kan gak ada yang kembar, jadi 4! = 24. Tapi kalau {1,1,2,3} itu baru 12. Sesuai opsi, jawaban 24 adalah untuk 4 elemen beda semua. Mari kita sesuaikan kuisnya.
Menghitung variasi susunan angka dengan elemen kembar menggunakan pembagian faktorial elemen yang sama.
Menerjemahkan ke Aljabar
Mendaftar partisi manual kayak tadi emang jalan buat jumlah kecil (kayak total 7). Tapi kebayang nggak kalau soalnya minta "total jumlah dadu 15"? Mendaftar satu-satu pasti bikin pusing dan gampang banget ada yang kelewat.
Biar lebih elegan dan tahan banting untuk soal susah, mari kita terjemahkan masalah ini ke dalam bahasa aljabar.
Kita anggap nilai tiap dadu adalah sebuah variabel: $x_1, x_2, x_3, x_4$. Masalah "mencari peluang jumlah mata dadu 7" berubah wujud persis menjadi pencarian banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan linear ini:
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7$
Tentu saja, karena ini dadu, ada batasan alamiah: $1 \le x_i \le 6$ (setiap variabel minimal bernilai 1 dan maksimal bernilai 6).