Pertidaksamaan Pecahan: Syarat Domain Tersembunyi

Jebakan Mencoret Faktor

Mencoret faktor yang sama di pembilang dan penyebut harus selalu diikuti dengan mencatat syarat domain: penyebut tidak boleh nol.

Saat melihat bentuk pecahan aljabar pada pertidaksamaan:

$$\frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 - 4x + 3} \ge 0$$

Langkah pertama adalah memfaktorkan pembilang dan penyebutnya:

$$\frac{(x + 6)(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)} \ge 0$$

Sering kali kita refleks langsung mencoret faktor $(x - 1)$ di atas dan bawah agar bentuknya menjadi $\frac{x + 6}{x - 3}$. Namun, mencoret begitu saja tanpa mencatat batasan akan mengubah identitas ekspresi matematika aslinya. Pada pecahan awal, jika nilai $x = 1$ dimasukkan, penyebutnya menjadi $(1 - 3)(1 - 1) = 0$, yang menyebabkan pembagian dengan nol (tidak terdefinisi).

Sebelum menyederhanakan aljabar apa pun, wajib hukumnya mengunci syarat domain: nilai pembuat nol penyebut tidak boleh menjadi solusi. Pada soal ini, syarat mutlaknya adalah $x \ne 1$ dan $x \ne 3$.

Pola menyembunyikan faktor bersama seperti ini sering muncul pada soal pertidaksamaan pecahan aljabar dan limit fungsi untuk menguji ketelitian kita terhadap domain tersembunyi.

Diberikan pertidaksamaan rasional $\frac{(x + 2)(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} \ge 0$. Langkah awal apa yang paling tepat secara matematis sebelum menyederhanakan pecahan tersebut?

Mencatat syarat bahwa $x \ne 4$ dan $x \ne -1$
Langsung mencoret faktor $(x - 4)$ di atas dan bawah
Mengabaikan $(x - 4)$ karena bernilai sama dengan 1
Menentukan penyelesaian $x + 2 \ge 0$ terlebih dahulu

Jawaban: Mencatat syarat bahwa $x \ne 4$ dan $x \ne -1$

Sebelum menyederhanakan faktor aljabar yang sama, catat terlebih dahulu syarat domain bahwa penyebut tidak boleh nol ($x \ne 4$ dan $x \ne -1$). Opsi B, C, dan D salah karena mencoret tanpa mencatat syarat akan menghilangkan batas domain ekspresi aslinya.

Keharusan mencatat batas penyebut saat menyederhanakan pecahan aljabar.

Menyusun Garis Bilangan Presisi

Semua titik kritis, termasuk akar faktor yang sudah dicoret, harus masuk dalam garis bilangan dengan penandaan batas yang tepat.

Titik kritis adalah nilai-nilai pembuat nol dari pembilang maupun penyebut. Dari bentuk terfaktor:

$$\frac{(x + 6)(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)} \ge 0$$

Kita memperoleh pembuat nol pembilang di $x = -6$ dan $x = 1$, serta pembuat nol penyebut di $x = 3$ dan $x = 1$. Perhatikan aturan penandaan bulatannya:

Titik $x = -6$ ditandai dengan bulatan penuh karena tanda pertidaksamaan memuat $\ge 0$ (nilai nol di pembilang diperbolehkan).
Titik $x = 1$ dan $x = 3$ wajib ditandai dengan bulatan kosong karena keduanya berasal dari penyebut, di mana pembagian dengan nol dilarang keras.

Letakkan titik-titik tersebut secara berurutan pada garis bilangan: $-6$, $1$, dan $3$. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi empat interval. Untuk menentukan tanda di setiap daerah, lakukan uji titik:

Daerah $x > 3$: uji $x = 4 \implies \frac{(4+6)(4-1)}{(4-3)(4-1)} = \frac{(10)(3)}{(1)(3)} = 10$ (bertanda $+$).
Daerah $1 < x < 3$: uji $x = 2 \implies \frac{(2+6)(2-1)}{(2-3)(2-1)} = \frac{(8)(1)}{(-1)(1)} = -8$ (bertanda $-$).
Daerah $-6 < x < 1$: uji $x = 0 \implies \frac{(0+6)(0-1)}{(0-3)(0-1)} = \frac{(6)(-1)}{(-3)(-1)} = -2$ (bertanda $-$).
Daerah $x < -6$: uji $x = -7 \implies \frac{(-7+6)(-7-1)}{(-7-3)(-7-1)} = \frac{(-1)(-8)}{(-10)(-8)} = \frac{8}{80} > 0$ (bertanda $+$).

Perhatikan bahwa tanda di sekitar $x = 1$ tidak berganti (tetap negatif) karena faktor $(x - 1)$ muncul dua kali (berpangkat genap jika dikalikan). Karena pertidaksamaan meminta $\ge 0$, daerah penyelesaian yang memenuhi adalah $x \le -6$ atau $x > 3$.

Tentukan apakah pernyataan mengenai penanda garis bilangan berikut Benar atau Salah:

Akar dari penyebut selalu ditandai dengan bulatan penuh jika ada tanda sama dengan pada pertidaksamaan. — Salah
Pembuat nol ganda (ada di pembilang dan penyebut) wajib ditandai bulatan kosong. — Benar

Pernyataan 1 Salah: Nilai pembuat nol dari penyebut tidak boleh bernilai nol, sehingga wajib selalu digambar dengan bulatan kosong apa pun tanda pertidaksamaannya. Pernyataan 2 Benar: Faktor yang berada di penyebut membuat fungsi tak terdefinisi di titik tersebut, sehingga pembuat nol bersama tetap harus ditandai dengan bulatan kosong.

Penempatan titik kritis penyebut sebagai bulatan kosong di garis bilangan.

Irisan dengan Syarat Soal

Daerah penyelesaian diiriskan dengan batasan domain yang diberikan dalam narasi soal untuk menemukan angka eksaknya.

Dari garis bilangan sebelumnya, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah:

$$x \le -6 \quad \text{atau} \quad x > 3$$

Namun, soal memberikan syarat tambahan: menentukan bilangan bulat yang terletak antara $-10$ dan $12$. Kata antara berarti kedua batas ujung tidak dihitung (interval terbuka $-10 < x < 12$). Bilangan bulat yang tersedia hanyalah rentang dari $-9$ hingga $11$.

Mengiriskan daerah penyelesaian pertidaksamaan dengan batasan soal menghasilkan dua kelompok bilangan bulat:

Untuk sisi $x \le -6$: $\{-9, -8, -7, -6\}$
Untuk sisi $x > 3$: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

Untuk menjumlahkan seluruh bilangan ini tanpa repot, pasangkan bilangan berlawanan tanda yang saling menghilangkan:

$$(-9 + 9) + (-8 + 8) + (-7 + 7) + (-6 + 6) + 4 + 5 + 10 + 11$$

$$= 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 5 + 10 + 11 = 30$$