Trik Deret Gauss & Rahasia Pola Angka SKD
Trik Pelangi ala Gauss Kecil
Pernahkah kamu membayangkan harus menjumlahkan angka $1+2+3+4+...+100$ secara manual? Pasti pegal dan lama!
Sekitar 200 tahun lalu, seorang anak SD bernama Carl Friedrich Gauss disuruh gurunya melakukan persis hal itu. Sang guru berharap kelas akan tenang untuk waktu yang lama. Namun, Gauss selesai hanya dalam hitungan detik! Bukannya menghitung urut satu per satu secara brute force, Gauss menggunakan intuisi pola.
Ia membayangkan angka-angka tersebut berbaris, lalu memasangkan angka terkecil dengan terbesar dari ujung ke ujung: $1$ dipasangkan dengan $100$, $2$ dengan $99$, $3$ dengan $98$, dan seterusnya.
Coba perhatikan pola "pelangi" di atas. Jumlah setiap pasangan selalu konstan (sama), yaitu $1+100 = 101$, $2+99 = 101$, dst. Karena ada $100$ angka, berarti akan terbentuk $50$ pasangan.
Hasil akhirnya? Tinggal kalikan saja banyaknya pasangan dengan nilai tiap pasangan: $50 \times 101 = 5050$. Sangat elegan dan menghemat banyak waktu!
Jika kita menggunakan trik pelangi Gauss untuk menjumlahkan deret angka dari 1 sampai 50, berapakah nilai dari SATU pasangan ujung-ke-ujung?
- A. 50
- B. 51
- C. 100
- D. 101
Jawaban: B. 51
Pasangan ujung-ke-ujung adalah angka pertama (1) ditambah angka terakhir (50), sehingga 1 + 50 = 51. Semua pasangan lainnya (2+49, 3+48) juga akan bernilai sama!
Nilai tiap pasangan dalam trik Gauss selalu sama, yaitu angka pertama ditambah angka terakhir.
Merakit Rumusnya Sendiri
Sekarang, mari kita ubah trik pelangi Gauss tadi menjadi sebuah "senjata" yang bisa dipakai untuk deret sepanjang apa pun. Kita tidak akan menghafal, tapi merakit rumus dari logika yang sudah kamu pahami.
Katakanlah angka terakhir (atau terbesar) dalam deret tersebut adalah $n$.
Jumlah per pasangan: Tadi kita memasangkan angka pertama dan terakhir. Jadi nilainya selalu $1 + n$, atau biasa ditulis $(n + 1)$.
Banyaknya pasangan: Karena satu pasangan terdiri dari $2$ angka, maka total pasangan yang terbentuk adalah total angka dibagi dua, yaitu $\frac{n}{2}$.
Jika kita kalikan keduanya (banyaknya pasangan $\times$ nilai per pasangan), kita akan mendapatkan rumus legendaris deret aritmatika:
Nah, sekarang rumus $S = \frac{n(n+1)}{2}$ bukan lagi deretan huruf acak yang harus dihafal mati, melainkan cerita tentang memasangkan angka dari ujung ke ujung. Kalau kamu lupa, kamu bisa menurunkannya lagi di kepalamu kapan saja!
Dalam rumus Gauss $S = \frac{n(n+1)}{2}$, bagian mana yang mewakili 'banyaknya pasangan' yang terbentuk dari deret angka 1 sampai $n$?
- A. $n$
- B. $n+1$
- C. $\frac{n}{2}$
- D. $2n$
Jawaban: C. $\frac{n}{2}$
Karena dua angka digabung menjadi satu pasangan, maka jumlah total angka ($n$) harus dibagi 2 untuk mengetahui seberapa banyak pasangan yang ada.
Jumlah pasangan dalam deret adalah setengah dari total angka penyusunnya ($n/2$).
Seni Menunda Perhitungan
Di soal-soal tes SKD atau kedinasan, angka-angka besar yang terlihat mengerikan itu sebenarnya menyimpan rahasia: mereka sengaja didesain untuk dicoret!
Mari kita lihat bagian penyebut (bawah) pada soal aslimu: $(253 \times 4 + 1)$. Secara naluriah, orang yang terbiasa berhitung brute force akan langsung sibuk mengalikan secara bersusun. Ini adalah jebakan waktu.
Kenalkan Seni Menunda Hitung. Inti dari seni ini adalah: jangan pernah terburu-buru mengalikan angka besar sebelum melihat keseluruhan persamaan.
Alih-alih langsung mengeksekusi perhitungan sampai habis, lebih baik kita "menggantung" perhitungannya. Kita hitung secukupnya: $(253 \times 4 + 1) = 1012 + 1 = 1013$. Berhentilah di situ! Jangan buru-buru dikalikan dengan penyebut dari deret di atasnya.
Tunggu sampai pembilangnya (bagian deret) terbuka bentuknya. Sangat sering, soal TIU dirancang agar angka di atas dan di bawah saling berkelipatan, sehingga kamu bisa mencoretnya (menyederhanakannya) dengan elegan tanpa harus bergelut dengan coretan panjang.