Dari Matriks ke Aljabar Biasa
Melihat 'Aljabar' di Balik Matriks
Sering bingung mulai dari mana saat lihat persamaan matriks yang kelihatan panjang dan ribet? Kamu nggak sendirian! Wajar kalau ngerasa mandek waktu berhadapan sama susunan angka dan huruf di dalam kurung siku.
Tapi, mari kita ubah cara pandangnya. Matriks di soal ini sebenarnya cuma sistem persamaan linear biasa yang lagi "nyamar".
Anggap aja bentuk matriks ini seperti sebuah brankas pelindung. Nilai $x$ dan $y$ yang mau kita cari itu terkurung rapat di dalam brankas matriks. Tujuan utama kita bukanlah ngutak-ngatik matriks selamanya, melainkan membebaskan si $x$ dan $y$ keluar dari brankas itu biar jadi aljabar biasa yang gampang dihitung.
Langkah pertama yang selalu bisa diandalkan: leburkan (kalikan) matriks di ruas kiri terlebih dahulu, lalu samakan hasilnya dengan ruas kanan. Yuk, kita putar kuncinya di halaman berikutnya!
Perkalian Matriks: Baris vs Kolom
Gimana tepatnya kita menggunakan "kunci perkalian" ini? Kuncinya ada di pola pergerakan arah: baris dikali kolom. Kita cuma fokus ngerjain ruas kiri aja dulu ya.
Coba perhatikan warna di atas. Kita membedah matriks pertama dengan melihat barisnya (merah), dan matriks kedua dari kolomnya (biru).
Perkalian Baris 1: Ambil elemen di baris atas matriks pertama, lalu kalikan berurutan dengan elemen matriks kedua. $k$ dikalikan dengan $(x+1)$, lalu ditambah $-1$ dikalikan dengan $(y+1)$. Hasilnya untuk posisi atas: $k(x+1) - (y+1)$.
Perkalian Baris 2: Lakukan hal yang sama untuk baris bawah matriks pertama. $1$ dikalikan dengan $(x+1)$, lalu ditambah $0$ dikalikan dengan $(y+1)$. Karena dikali nol hasilnya habis, sisanya untuk posisi bawah tinggal: $x+1$.
Sekarang, bentuk ruas kiri kita udah jadi satu matriks utuh.
Berdasarkan aturan perkalian matriks, dari mana asalnya elemen posisi atas pada matriks hasil kita?
- A. Baris pertama dikali kolom pertama
- B. Kolom pertama dikali kolom pertama
- C. Baris pertama dikali baris pertama
- D. Baris kedua dikali kolom kedua
Jawaban: A. Baris pertama dikali kolom pertama
Aturan baku perkalian dua matriks adalah mengalikan elemen pada BARIS matriks pertama dengan elemen pada KOLOM matriks kedua, lalu menjumlahkannya.
Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan elemen baris matriks pertama dengan elemen kolom matriks kedua secara berurutan.
Kesamaan Matriks: Copot Kotaknya!
Nah, karena ruas kiri udah kita kalikan, sekarang sandingkan hasilnya dengan matriks ruas kanan, yaitu matriks yang isinya $0$ dan $k$.
Di titik ini, kotak "brankas" matriks bisa kita singkirkan! Kita pakai konsep kesamaan dua matriks: kalau letak dan ukurannya udah sama persis, maka isi di dalamnya yang posisinya bersesuaian nilainya wajib sama mutlak. Kita tinggal tarik elemennya satu per satu.
Tarik posisi bawah (hijau): Ruas kiri $x + 1$ sama dengan ruas kanan $k$. Jadi, $x + 1 = k$. Dari sini gampang banget, kita dapet $x = k - 1$.
Tarik posisi atas (kuning): Ruas kiri $k(x+1) - (y+1)$ sama dengan ruas kanan $0$. Jadi, $k(x+1) - (y+1) = 0$.
Karena kita udah tau dari bawah kalau $x+1$ itu nilainya sama dengan $k$, kita bisa langsung substitusi (ganti) $x+1$ yang ada di atas dengan $k$: $k(k) - (y+1) = 0$ $k^2 - y - 1 = 0$
Pindahkan $y$ ke kanan biar positif, kita dapat $y = k^2 - 1$. Tuh kan, tanpa kita sadari, ini cuma aljabar biasa yang lagi nyamar!
Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah berdasarkan prinsip kesamaan matriks!
- Nilai x dicari dengan menyamakan elemen posisi bawah ruas kiri dengan posisi bawah ruas kanan. — Benar
- Nilai y dicari dengan menyamakan elemen posisi atas ruas kiri dengan posisi bawah ruas kanan. — Salah
Dua matriks dikatakan sama JIKA DAN HANYA JIKA letak dan ukurannya persis sama, dan isi pada setiap posisi yang bersesuaian juga sama persis. Posisi atas disamakan dengan posisi atas, bukan disilang.
Kesamaan matriks hanya berlaku untuk elemen-elemen yang berada tepat pada posisi yang sama.