Persamaan Lingkaran: Dari Pythagoras ke Titik Geser

Rahasia di Balik $x^2 + y^2 = r^2$

Pernah gak sih kamu bertanya-tanya, kenapa rumus persamaan lingkaran itu $x^2 + y^2 = r^2$? Bentuknya familiar, kan? Yap, ini sebenernya cuma "baju lain" dari Teorema Pythagoras!

Coba bayangkan Sprinkler A di titik pusat $(0,0)$. Air memancar ke segala arah membentuk sebuah lingkaran. Sekarang, kalau kita ambil satu titik sembarang $(x,y)$ tepat di ujung pancaran air itu dan menarik garis lurus ke pusat $(0,0)$, garis itulah yang kita sebut jari-jari alias $r$.

Kalau dari titik $(x,y)$ itu kita tarik garis mendatar sejajar sumbu-x dan garis tegak sejajar sumbu-y, maka terbentuklah sebuah segitiga siku-siku imajiner di dalam lingkaran tersebut!

Lewat hukum Pythagoras yang legendaris ($a^2 + b^2 = c^2$), kita bisa langsung melihat bahwa $x^2 + y^2 = r^2$. Voila! Terciptalah persamaan lingkaran!

Di soal tadi, persamaan Sprinkler A adalah $x^2 + y^2 = 25$. Dari sini, kita langsung tahu bahwa $r^2 = 25$. Karena $r$ (atau di soal disebut $p$) adalah panjang jari-jari, maka nilainya adalah $\sqrt{25} = 5$.

Gambar: JJ Harrison, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons

Menggeser Sprinkler (Translasi)

Di halaman sebelumnya kita lihat bagaimana rumus bekerja saat sprinkler berada di titik pusat (0,0). Tapi, bagaimana kalau sprinklernya dipindah?

Bayangkan Sprinkler B yang dipasang 6 meter di sebelah kanan Sprinkler A. Pusat lingkarannya bergeser dari $(0,0)$ menjadi $(6,0)$. Jari-jarinya tetap sama panjang. Apa akibatnya ke rumus kita?

Nah, coba ingat lagi segitiga siku-siku dari halaman sebelumnya. Saat pusatnya digeser sejauh $h$ secara mendatar (sumbu-x) dan sejauh $k$ secara vertikal (sumbu-y), jarak alas dan tinggi segitiganya gak lagi sesimpel $x$ dan $y$.

Karena titik pusat Sprinkler B adalah $(6,0)$, maka pergeseran horizontalnya $h = 6$ dan vertikalnya $k = 0$. Maka Pythagoras-nya menyesuaikan: Dari $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ Menjadi $(x - 6)^2 + (y - 0)^2 = r^2$

Karena $y - 0$ itu sama dengan $y$, persamaannya bisa ditulis lebih rapi menjadi $(x - 6)^2 + y^2 = 25$.

Mencocokkan Variabel Jebakan

Sekarang kita tahu bentuk baku atau "seharusnya" dari persamaan Sprinkler B yang berpusat di $(6,0)$ adalah $(x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 25$.

Tapi di soal, si pembuat soal sengaja menyembunyikan angka-angkanya dengan huruf! Mereka menulisnya jadi: $(x - q)^2 + (y + z)^2 = 25$

Ini saatnya kita bermain cocoklogi. Triknya gampang: jejerkan saja persamaan yang seharusnya dengan persamaan dari soal atas-bawah, lalu lihat siapa berpasangan dengan siapa.

Cocokkan bagian $x$: Di persamaan kita ada $(x - 6)$. Di soal ada $(x - q)$. Keduanya sama-sama dikurangi. Berarti jelas, nilai $q$ itu menggantikan $6$. Maka $q = 6$.

Cocokkan bagian $y$: Di persamaan kita ada $(y - 0)$, yang artinya gak dikurang atau ditambah apa-apa (cuma $y$). Di soal ada $(y + z)$. Agar $(y + z)$ nilainya tetap cuma $y$, maka $z$ gak boleh nambah nilai apa-apa. Angka apa yang kalau ditambahkan tidak mengubah nilai? Yap, nol! Maka $z = 0$.