Trik Simetri Parabola & Strategi Substitusi

Mulai dari Mana?

Ketika melihat titik $(a,6)$ dan $(a+4,6)$, wajar kalau kamu kepikiran buat langsung mensubstitusi keduanya ke fungsi $f(x) = x^2 - bx + 11$. Tapi, tunggu dulu!

Fungsi kita masih memiliki variabel $b$. Kalau kamu memaksakan memasukkan titik yang juga punya variabel ($a$), kamu akan berujung pada persamaan panjang dengan dua variabel tak diketahui. Bikin pusing!

Strategi terbaik di sini adalah memakai titik $(3,2)$. Masukkan $x=3$ dan $y=2$ ke dalam fungsi: $2 = 3^2 - b(3) + 11$ $2 = 9 - 3b + 11$ $2 = 20 - 3b$ $3b = 18 \implies b = 6$

Kini, fungsi kita sudah utuh dan siap digunakan: $f(x) = x^2 - 6x + 11$.

Jika sebuah fungsi kuadrat $g(x) = ax^2 + 4x - 5$ melewati titik $(1,-2)$ dan $(p, 4)$, strategi paling efisien untuk mencari nilai $a$ dan $p$ adalah...

  • A. Menggunakan dua titik bervariabel terlebih dahulu untuk membandingkan nilainya
  • B. Mensubstitusikan semua titik sekaligus dan mengeliminasinya
  • C. Mensubstitusikan titik yang penuh angka duluan untuk menghindari persamaan dengan dua variabel
  • D. Mengubah bentuk fungsi kuadrat menjadi fungsi linear

Jawaban: C. Mensubstitusikan titik yang penuh angka duluan untuk menghindari persamaan dengan dua variabel

Titik yang penuh angka (tanpa variabel asing) akan langsung menghasilkan nilai konstanta/koefisien yang belum diketahui tanpa perlu memecahkan sistem persamaan banyak variabel.

Memilih titik tanpa variabel (full angka) terlebih dahulu saat disubstitusi agar langsung mendapatkan nilai dari koefisien yang belum diketahui.

Jalan Pintas Titik Kembar

Sekarang kita memiliki fungsi utuh $f(x) = x^2 - 6x + 11$, dan dua titik tersisa: $(a,6)$ dan $(a+4,6)$. Perhatikan bahwa keduanya memiliki nilai $y=6$ (ketinggian yang sama di sumbu-y).

Gunakan insting geometrismu: kalau dua titik di parabola punya ketinggian yang sama, sumbu simetri pasti berada tepat di tengah-tengah mereka.

Untuk mencari letak sumbu simetri dari kedua titik ini, cukup cari rata-rata dari kedua nilai $x$-nya: $x_s = \frac{a + (a+4)}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$

Di sisi lain, karena fungsi kita adalah $f(x) = x^2 - 6x + 11$, kita bisa langsung menghitung sumbu simetri menggunakan rumus aslinya, yaitu $x_s = \frac{-B}{2A}$: $x_s = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3$

Tinggal samakan kedua hasil ini: $a + 2 = 3 \implies a = 1$

Dengan intuisi "titik tengah" ini, kita tidak perlu lagi menggunakan substitusi persamaan kuadrat yang panjang dan rawan salah hitung!

Tentukan Benar atau Salah pernyataan mengenai sifat simetri pada parabola berikut!

  • Sumbu simetri parabola dapat dicari dengan merata-ratakan koordinat x dari dua titik yang memiliki koordinat y yang sama. — Benar
  • Jika parabola melewati (2, 8) dan (6, 8), maka sumbu simetrinya adalah x = 8. — Salah
  • Titik tengah dari dua titik yang memiliki y sama akan berada pada garis vertikal yang sama dengan titik puncak parabola. — Benar

Titik yang y-nya sama berada pada jarak yang sama dari sumbu simetri. Sumbu simetri bisa dicari dari rata-rata nilai x kedua titik tersebut. Titik puncak parabola selalu berada di garis sumbu simetri ini.

Dua titik dengan koordinat y yang sama pada parabola selalu simetris terhadap sumbu simetri, dan sumbu simetrinya adalah rata-rata dari absis (x) kedua titik tersebut.

Pola Penting buat Soal Lain

Karena kita sudah mendapatkan $a = 1$ dan $b = 6$, tinggal kita selesaikan permintaan utama dari soal, yaitu menjumlahkan keduanya: $a + b = 1 + 6 = 7$. Selesai!

Tapi, yang lebih berharga dari jawaban $7$ ini adalah pola yang bisa kamu bawa sebagai alat bantu di tipe-tipe soal UTBK lainnya.

Jangan buang waktumu dengan mensubstitusi titik-titik tersebut secara manual. Pembuat soal ingin melihat apakah kamu memahami konsep simetri parabola.

Ingat terus pola cepatnya:

  1. Rata-ratakan nilai $x$ dari kedua titik kembar tersebut untuk mencari posisi sumbu simetri.

  2. Samakan hasilnya dengan rumus turunan sumbu simetri $\frac{-B}{2A}$.

Langkah ini sering kali memotong banyak proses perhitungan yang rumit.