Strategi Celah: Memisahkan yang Dilarang Bersama
Taktik Penjaga Jarak
Pernahkah kamu harus mengatur tempat duduk untuk dua teman yang lagi berantem? Biar mereka nggak berantem, cara paling gampang adalah menyuruh orang lain duduk di antara mereka sebagai "tembok pemisah".
Nah, prinsip ini juga berlaku di matematika!
Di soal ini, kita punya angka genap ($2$ dan $4$) yang bertindak seperti tamu VIP yang lagi musuhan—mereka tidak boleh berdampingan. Kalau kita pusing mikirin posisi mereka berdua duluan, bakal repot dan banyak kasus yang harus dihitung manual.
Dengan menata objek yang "bebas" terlebih dahulu, kita secara otomatis membuat zona-zona aman buat objek yang bersyarat. Taktik ini sering disebut sebagai gap method (metode celah). Yuk, kita terapkan ke angka-angkanya!
Berdasarkan analogi tamu VIP, tentukan pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Menyusun tamu VIP terlebih dahulu lebih mudah daripada menyusun tamu biasa. — Salah
- Tamu biasa berfungsi sebagai 'tembok pemisah' agar tamu VIP tidak duduk bersebelahan. — Benar
Menyusun tamu bebas (biasa) lebih dulu justru menciptakan celah aman bagi tamu VIP. Tamu biasa ini bertindak sebagai pemisah alami.
Objek tanpa syarat disusun lebih dulu untuk membentuk celah bagi objek yang bersyarat.
Langkah 1: Menyusun 'Tembok' Ganjil
Dari angka $1, 2, 3, 4, 5, 7$, mari kita pisahkan dulu mana yang jadi "tembok" (ganjil) dan mana yang jadi "VIP" (genap).
Ganjil (Tembok): $1, 3, 5, 7$ (ada $4$ angka)
Genap (VIP): $2, 4$ (ada $2$ angka)
Langkah pertama kita adalah menyusun $4$ angka ganjil ini berjajar secara bebas.
Gunakan logika permutasi dasar. Bayangkan ada 4 kotak kosong yang mau diisi 4 angka ganjil:
Kotak pertama bisa diisi $4$ pilihan angka.
Kotak kedua sisa $3$ pilihan.
Kotak ketiga sisa $2$ pilihan.
Kotak terakhir sisa $1$ pilihan.
Sekarang kita sudah punya $24$ formasi tembok yang siap disisipi oleh angka genap!
Jika ada 5 angka ganjil yang harus disusun sebagai 'tembok', berapa banyak cara menyusunnya?
- A. 5 cara
- B. 20 cara
- C. 120 cara
- D. 24 cara
Jawaban: C. 120 cara
Sama seperti sebelumnya, susunan bebas dari 5 angka adalah 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.
Banyaknya cara menyusun n objek yang berbeda secara berjejer adalah n! (n faktorial).
Langkah 2: Menghitung Celah Kosong
Sekarang, bayangkan $4$ angka ganjil itu sudah berjejer rapi. Di mana saja angka genap boleh diletakkan agar tidak berdampingan?
Jawabannya: di celah-celah antar angka ganjil, plus di ujung paling kiri dan ujung paling kanan.
Mari kita hitung sama-sama dari kiri ke kanan:
Ujung kiri
Celah antara ganjil pertama dan kedua
Celah antara ganjil kedua dan ketiga
Celah antara ganjil ketiga dan keempat
Ujung kanan
Ternyata, $4$ angka ganjil menghasilkan $5$ celah kosong!
Kelima celah inilah yang akan menjadi "kursi pilihan" untuk $2$ angka genap kita.
Bayangkan kamu menyusun 7 buku di rak. Berapa banyak 'celah' (termasuk ujung kiri dan kanan) yang tersedia untuk disisipi buku lain?
- A. 6 celah
- B. 7 celah
- C. 8 celah
- D. 9 celah
Jawaban: C. 8 celah
N objek yang dijejerkan akan selalu menghasilkan N + 1 celah (N-1 di antara objek, ditambah 2 di ujung-ujungnya). Jadi, 7 buku -> 8 celah.
Menyusun N objek dalam satu barisan akan selalu menciptakan N + 1 celah.