Laju Kerja: Kenapa Waktu Gak Bisa Ditambah?

Logika Tukang Air: Bahaya Nambahin Jam

Coba bayangkan kamu sedang mengisi bak mandi kosong di rumah. Keran pertama (Pipa A) menyala sendirian dan butuh waktu 4 jam sampai bak penuh.

Lalu, karena ingin lebih cepat, kamu membuka keran kedua (Pipa B) yang bisa mengisi penuh dalam 6 jam. Secara akal sehat, apa yang terjadi? Air yang masuk ke bak jelas makin deras. Logikanya, bak air pasti akan penuh jauh lebih cepat dari 4 jam, bukan?

Ilustrasi komikal seseorang bingung melihat dua keran air menyala deras ke dalam bak tetapi jam dinding malah berjalan lambat

Waktu bukanlah besaran yang bisa dijumlahkan langsung (additive). Semakin banyak pekerja atau pipa yang membantu, waktunya justru berkurang.

Lalu, apa besaran yang sebenarnya boleh kita jumlahkan secara adil dan masuk akal? Jawabannya ada pada seberapa cepat air itu mengalir tiap jamnya.

Jika Pipa A mengisi bak penuh dalam 4 jam dan Pipa B mengisi penuh dalam 6 jam, secara akal sehat berapa perkiraan waktu yang dibutuhkan jika kedua pipa dibuka bersamaan?

  • Sekitar 5 jam, yaitu rata-rata waktu dari kedua pipa.
  • Kurang dari 4 jam, karena air yang masuk bertambah banyak.
  • Tepat 10 jam, hasil dari penjumlahan waktu kedua pipa.
  • Lebih dari 6 jam, mengikuti waktu pipa yang lebih lambat.

Jawaban: Kurang dari 4 jam, karena air yang masuk bertambah banyak.

Pipa A saja butuh 4 jam. Ketika dibantu Pipa B, aliran air bertambah deras sehingga bak pasti penuh lebih cepat dari 4 jam. Waktu kerja bersama tidak boleh dijumlahkan secara langsung.

Waktu gabungan dari dua agen yang saling membantu selalu lebih kecil dari waktu agen tercepat yang bekerja sendiri.

Analogi Fisis: Pipa, Liter, dan Jam

Kenapa waktu tidak boleh dijumlahkan langsung? Karena yang bisa dijumlahkan di dunia nyata adalah volume zat yang mengalir tiap jam, atau kita sebut debit (laju aliran).

Biar otak kita tidak pusing dengan angka abstrak, mari kita bayangkan bak air ini memiliki volume nyata sebesar $12\text{ Liter}$ (angka 12 dipilih dari KPK angka 4, 6, dan 12 agar pembagiannya bulat dan mulus).

Diagram tangki air kapasitas 12 liter dengan dua pipa pengisi dari atas dan satu pipa pembuang di bawah beserta laju per jamnya

Sekarang, kita bisa hitung berapa liter air yang dipindahkan masing-masing pipa setiap 1 jam:

Jika sebuah tangki diisi Pipa 1 dengan laju +5 Liter/jam dan bocor melalui Pipa 2 dengan laju 2 Liter/jam, berapa laju pertambahan air di dalam tangki tiap jamnya?

  • +7 Liter per jam, karena semua pipa menyala bersamaan.
  • +5 Liter per jam, karena pipa pembuangan diabaikan tekanannya.
  • +3 Liter per jam, karena pipa pembuangan mengurangi 2 Liter per jam.
  • -2 Liter per jam, karena pembuangan selalu memenangkan aliran air.

Jawaban: +3 Liter per jam, karena pipa pembuangan mengurangi 2 Liter per jam.

Pipa 1 memasukkan +5 L/jam dan Pipa 2 mengeluarkan -2 L/jam. Laju bersih gabungan adalah (+5) + (-2) = +3 Liter/jam. Pipa pengurasan selalu bertanda minus pada laju.

Pipa pembuangan atau kebocoran bernilai negatif terhadap laju gabungan karena melawan arah pengisian.

Dari Liter ke Pecahan (Rumus Asli)

Di soal ujian matematika asli, pembuat soal hampir tidak pernah memberi tahu kita kapasitas bak dalam angka liter.

Lalu bagaimana cara menghitungnya? Kita selalu bisa menganggap volume total satu bak penuh sebagai $1\text{ bagian utuh}$.

Dengan menganggap seluruh kapasitas bak bernilai $1$, laju kerja pipa per jam berubah menjadi pecahan:

Perhatikan bahwa angka pembilang $\frac{3}{12}$, $\frac{2}{12}$, dan $\frac{1}{12}$ persis sama dengan angka $3\text{ L}$, $2\text{ L}$, dan $1\text{ L}$ yang kita dapat dari permisalan $12\text{ Liter}$ sebelumnya! Pecahan ini hanyalah cara formal untuk menuliskan proporsi air yang sama.