Trik Bedah Eksponen: Dari Basis ke Hasil
Memecah Pangkat Penjumlahan
Pangkat yang dijumlahkan berasal dari perkalian angka dasar yang sama.
Bayangkan kamu sedang memasak resep menggunakan bahan dasar (blok lego). Di dunia aljabar, angka seperti 2 disebut basis, sedangkan angka kecil di atasnya disebut eksponen. Aturan emas pertama eksponen berbunyi:
$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$
Artinya, tanda tambah di bagian eksponen sebenarnya adalah singkatan dari operasi perkalian dua bentuk dengan basis yang sama persis.
Ketika kamu melihat suku $2^{x+2}$ pada soal, jangan biarkan bentuk itu menyatu rumit. Pisahkan bahan-bahannya menjadi dua blok dasar yang terpisah:
$$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2$$
Karena $2^2$ sudah pasti bernilai $4$, bentuk tersebut menjadi jauh lebih bersahabat:
$$2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$$
Langkah ini sangat penting karena kita berhasil membebaskan 'blok dasar' utama kita, yaitu $2^x$, agar berdiri sendiri dan siap diolah di tahap berikutnya.
Jika dipecah sesuai aturan pangkat, bentuk yang setara dengan $3^{x+1}$ adalah...
- 3 · 3^x
- 3^x + 3
- 1^x · 3
- 3^(x · 1)
Jawaban: 3 · 3^x
Berdasarkan sifat perkalian eksponen a^(m+n) = a^m · a^n, bentuk 3^(x+1) dipecah menjadi 3^x · 3^1 = 3 · 3^x. Opsi B salah karena mengubah operasi kali menjadi tambah. Opsi C salah karena memisahkan basis secara keliru. Opsi D salah karena mengganti operasi pangkat tanpa memisahkan basis.
Bentuk penjumlahan pangkat berawal dari operasi perkalian dengan basis yang sama.
Menyamakan Blok Dasar
Angka komposit seperti 4 dan 8 dapat diubah menjadi bentuk pangkat dari basis primanya.
Aturan emas kedua dari eksponen adalah pangkat yang dipangkatkan lagi: ketika suatu bilangan berpangkat diberi pangkat lagi di luar tanda kurung, kedua eksponennya saling mengalikan:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Karena perkalian bersifat bolak-balik ($m \cdot n = n \cdot m$), kita juga bebas menukar urutannya: $(a^m)^n = (a^n)^m$.
Sekarang, mari kita bedah angka 4 dan 8 bukan sebagai angka utuh, melainkan sebagai tumpukan blok dasar angka 2:
Angka 4 adalah $2^2$, sehingga bentuk $4^x$ dapat ditulis:
$$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$
Angka 8 adalah $2^3$, sehingga bentuk $8^x$ dari soal dapat diubah menjadi:
$$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$$
Lihat polanya! Bentuk yang tadinya tampak berbeda ($4^x$ dan $8^x$) sekarang memiliki kesamaan inti: keduanya tersusun dari blok dasar yang sama, yaitu $2^x$.
Pilih Benar atau Salah untuk pernyataan mengenai pengubahan basis eksponen berikut.
- Bentuk 27^x dapat ditulis ulang menjadi (3^x)^3. — Benar
- Bentuk 9^x setara dengan 3^(x^2). — Salah
Pernyataan 1 Benar: Karena 27 = 3^3, maka 27^x = (3^3)^x = (3^x)^3 sesuai sifat pertukaran pangkat. Pernyataan 2 Salah: Karena 9 = 3^2, maka 9^x = (3^2)^x = 3^(2x), bukan 3^(x^2). Pangkat bertingkat tanpa tanda kurung berbeda makna dengan pemangkatan basis.
Pengubahan basis komposit ke basis pangkat.
Mencari Nilai Inti
Substitusi nilai awal hanya bisa dilakukan jika bentuk intinya sudah diisolasi.
Dari informasi di soal, kita mengetahui hubungan utama:
$$4^x = 5$$
Pada langkah sebelumnya, kita sudah membongkar bahwa $4^x$ tidak lain adalah $(2^x)^2$. Mari kita ganti bentuknya:
$$(2^x)^2 = 5$$
Tujuan kita sekarang adalah mengisolasi 'blok dasar' $2^x$ agar bebas dari kuadrat. Caranya adalah dengan menarik akar kuadrat pada kedua ruas:
$$2^x = \sqrt{5}$$
(Karena basis eksponen $2^x$ selalu bernilai positif untuk setiap bilangan real $x$, kita mengambil akar positifnya).