Menjinakkan Pecahan Multi-Variabel

Membongkar Pecahan ke Bentuk Datar

Kalau kamu melihat pecahan yang punya huruf di bagian bawah (penyebut) seperti $\frac{a}{b+c} = \frac{1}{2}$, wajar kalau terasa membingungkan. Pecahan berlapis variabel ini bikin kita susah ngelihat hubungan antar hurufnya.

Mari kita bongkar persamaannya pelan-pelan:

  1. Ambil persamaan pertama: $\frac{a}{b+c} = \frac{1}{2}$.

  2. Kalikan kedua ruas dengan $(b+c)$ biar pecahannya hilang. Hasilnya jadi $a = \frac{1}{2}(b+c)$.

  3. Biar gak ada pecahan $1/2$ lagi, kalikan kedua ruas dengan $2$, sehingga menjadi $2a = b+c$.

Sekarang terapkan langkah yang persis sama ke persamaan kedua: $\frac{b}{a+c} = \frac{1}{3}$. Kalikan silang penyebutnya ke ruas kanan (dan angka 3 ke ruas kiri), maka pecahannya akan berubah menjadi bentuk datar yang jauh lebih rapi: $3b = a+c$.

Bentuk yang mendatar ini ($2a = b+c$ dan $3b = a+c$) jauh lebih enak buat diutak-atik ketimbang bentuk aslinya!

Jika diketahui $\frac{x}{x-y} = z$, bentuk datar tanpa pecahan yang ekuivalen adalah...

  • $x - y = z$
  • $x = z(x - y)$
  • $x - y = 1/z$
  • $x = z / (x - y)$

Jawaban: $x = z(x - y)$

Kalikan kedua ruas dengan (x - y) agar pecahannya hilang. Hasilnya menjadi $x = z(x - y)$.

Untuk menghilangkan pecahan dalam persamaan aljabar, kalikan kedua ruas dengan penyebut pecahan tersebut.

Mencari 'Jembatan' Penghubung

Sekarang kita punya dua persamaan yang kelihatannya beda arah:

Gimana caranya menghubungkan mereka? Rahasianya adalah mencari kesamaan. Kalau kita perhatikan ruas kanan di persamaan pertama ($b+c$), rasanya ada yang kurang biar jadi lengkap ada $a, b,$ dan $c$. Yang hilang adalah huruf $a$.

Coba kita tambahkan variabel yang 'hilang' itu ke kedua ruas secara adil: Di persamaan pertama ($2a = b+c$), tambahkan $a$ di kiri dan di kanan: $2a + a = a + b + c$ $3a = a + b + c$

Di persamaan kedua ($3b = a+c$), yang kurang di ruas kanan adalah huruf $b$. Tambahkan $b$ di kiri dan kanan: $3b + b = a + b + c$ $4b = a + b + c$

Aha! Lewat sedikit manipulasi aljabar, kita berhasil menciptakan jembatan penghubung yang sama persis, yaitu bentuk $(a+b+c)$.

Misalkan kamu memiliki persamaan $3y = x+z$. Jika kamu ingin memunculkan jembatan penghubung berwujud $(x+y+z)$, langkah apa yang sah secara aljabar?

  • Membagi ruas kanan dengan 2.
  • Mengkuadratkan kedua ruas persamaan.
  • Menambahkan 'y' ke kedua ruas sehingga menjadi $4y = x+y+z$.
  • Mengurangi ruas kiri dengan 'y'.

Jawaban: Menambahkan 'y' ke kedua ruas sehingga menjadi $4y = x+y+z$.

Menambahkan variabel 'y' ke kedua ruas secara adil akan menghasilkan $4y = x+y+z$, membentuk pola simetris yang berguna.

Menambahkan nilai yang sama ke kedua ruas persamaan akan mempertahankan kesetaraan.

Menyederhanakan Banyak Huruf Jadi Satu

Berkat 'jembatan' $(a+b+c)$ di halaman sebelumnya, kita sekarang tahu sebuah fakta penting: Nilai $3a$ sama dengan $(a+b+c)$, dan nilai $4b$ ternyata juga sama dengan $(a+b+c)$.

Karena $3a$ dan $4b$ sama-sama bernilai $(a+b+c)$, kita bisa langsung menyamakan mereka: $3a = 4b$

Dengan begini, kita bisa menerjemahkan bahasa "$a$" ke dalam bahasa "$b$". Bagi kedua ruas dengan $3$, kita dapatkan: $a = \frac{4}{3}b$

Sekarang kita juga butuh mencari bentuk $c$ dalam bahasa "$b$". Mari gunakan salah satu persamaan kita tadi: $a + b + c = 4b$. Ganti huruf $a$ dengan nilai barunya yang sudah dalam bentuk $b$:

  1. $\frac{4}{3}b + b + c = 4b$

  2. Samakan penyebut $b$ menjadi pecahan bertiga: $\frac{4}{3}b + \frac{3}{3}b + c = 4b$

  3. Gabungkan: $\frac{7}{3}b + c = 4b$

  4. Pindahkan $\frac{7}{3}b$ ke kanan: $c = 4b - \frac{7}{3}b$

  5. Ubah $4b$ jadi pecahan per tiga: $c = \frac{12}{3}b - \frac{7}{3}b$

  6. Hasilnya: $c = \frac{5}{3}b$

Sekarang semua variabel sudah pakai seragam yang sama, yaitu huruf "$b$"!