Desimal Berulang: Membongkar Pola ke Pecahan

Mengenal Desimal Berulang

Tidak semua bilangan di belakang koma pada desimal berulang itu ikut berulang.

Ilustrasi gulungan pita dengan bagian pangkal polos berwarna netral yang berlanjut menjadi corak garis warna berulang teratur.

Bilangan desimal yang kita temui terbagi menjadi bilangan yang berhenti dan tak berhingga. Jika desimal tak berhingga tersebut memiliki pola angka teratur yang terus berulang tanpa henti, kita menyebutnya desimal berulang. Semua bilangan desimal berulang ini termasuk bilangan rasional karena bisa diubah kembali ke bentuk pecahan biasa $\frac{a}{b}$.

Amati angka $0{,}2151515...$ dari soal. Angka $2$ tepat di belakang koma hanya muncul satu kali dan diam (tidak berulang). Pola yang muncul terus-menerus adalah angka $15$. Bagian angka $15$ inilah yang disebut sebagai periode.

Dari bilangan $1{,}0434343...$, kelompok digit mana yang berperan sebagai periode atau bagian yang berulang?

  • Angka 043 karena langsung muncul setelah tanda koma
  • Hanya angka 43 karena tersusun berulang tanpa jeda
  • Angka 343 karena pengulangan terbaca dari digit ketiga
  • Semua angka desimalnya karena berada di belakang koma

Jawaban: Hanya angka 43 karena tersusun berulang tanpa jeda

Pada bilangan $1{,}0434343...$, angka $0$ hanya muncul sekali di belakang koma (bagian tak berulang), sedangkan blok digit yang berulang terus tanpa henti adalah $43$. Oleh karena itu, periodenya adalah 43. Opsi lain salah karena memasukkan digit tak berulang (0) atau memotong pola secara keliru.

Bagian periode (berulang) pada bentuk desimal dapat langsung dibaca dari pola digit yang tak terputus.

Kenapa Dikalikan?

Mengalikan dengan perpangkatan 10 bertujuan untuk menyejajarkan pola berulang sehingga ekor tak hingganya bisa dilenyapkan.

Desimal berulang memiliki ekor tak terhingga yang tidak bisa dihilangkan hanya dengan membulatkannya begitu saja. Jika kita mengalikan sembarangan, kita tetap akan menyisakan ekor tak berhingga di belakang koma. Strategi yang tepat adalah menciptakan dua perkalian berbeda yang menghasilkan bagian di belakang koma yang identik.

Perhatikan pergeseran koma pada $x = 0{,}2151515...$:

  1. Kalikan $x$ dengan $10$: koma bergeser satu angka ke kanan melewati angka non-pola ($2$), menghasilkan $10x = 2{,}151515...$

  2. Kalikan $x$ dengan $1000$: koma bergeser tiga angka ke kanan melewati angka non-pola dan satu blok pola ($15$), menghasilkan $1000x = 215{,}151515...$

Sekarang, kedua persamaan tersebut memiliki ekor desimal yang sama persis, yaitu $151515...$.

Misalkan $y = 0{,}7333...$ dengan angka 3 berulang terus. Pasangan perkalian manakah yang paling tepat menghasilkan ekor desimal yang sama persis?

  • $10y$ dan $100y$ karena keduanya menyisakan ekor $333...$ di belakang koma
  • $y$ dan $10y$ karena perkalian sepuluh sudah cukup memindahkan tanda koma
  • $10y$ dan $1000y$ karena langsung memisahkan tiga angka di belakang koma
  • $100y$ dan $1000y$ karena pola pengulangan membutuhkan pengali yang paling besar

Jawaban: $10y$ dan $100y$ karena keduanya menyisakan ekor $333...$ di belakang koma

Pada $y = 0{,}7333...$, terdapat 1 digit tak berulang (angka 7) dan 1 digit periode berulang (angka 3). Mengalikan dengan $10$ menghasilkan $10y = 7{,}333...$, dan mengalikan dengan $100$ menghasilkan $100y = 73{,}333...$. Pasangan $10y$ dan $100y$ adalah pasangan minimal yang menghasilkan ekor desimal identik ($333...$), sehingga saat dikurangkan, bagian desimalnya tereliminasi sempurna. Opsi B salah karena ekor $y$ diawali angka 7 sedangkan $10y$ diawali angka 3.

Menyejajarkan bagian desimal berulang memerlukan pemilihan pengali yang tepat.

Mengeliminasi Desimal

Mengurangkan dua persamaan yang memiliki ekor desimal yang identik akan menghasilkan bilangan bulat di sisi kanan.

Diagram pengurangan bersusun antara 1000x dan 10x yang mengeliminasi ekor desimal berulang 1515... sehingga menyisakan 990x = 213.

Setelah kedua bilangan memiliki ekor desimal yang identik, kita dapat mengurangkan kedua persamaan secara langsung. Seluruh deretan angka tak hingga di belakang koma akan saling meniadakan ($1515... - 1515... = 0$).

Operasi aljabar pengurangan bersusun tersebut adalah:

$$\begin{aligned} 1000x &= 215{,}151515... \\ 10x &= 2{,}151515... \\ \hline 990x &= 213 \end{aligned}$$

Dengan membagi kedua ruas dengan $990$, kita memperoleh nilai $x$ sebagai pecahan biasa:

$$x = \frac{213}{990}$$