Menaklukkan Operasi Biner: Urai, Ringkas, Faktorkan

Merapikan Rumus Operasi Biner

Menyederhanakan rumus sebelum memasukkan angka akan membuat perhitungan jauh lebih mudah.

Di dalam soal, kita diberikan sebuah operasi biner $\odot$ dengan bentuk pembilang yang terlihat cukup rumit:

$$a \odot b = \frac{(a - b)^2 + 2ab}{a + b}$$

Bayangkan ini seperti merapikan isi koper. Jika langsung memasukkan angka ke dalam koper yang berantakan, perhitungannya akan terasa padat dan rawan keliru. Alih-alih langsung menyubstitusikan nilai $b = 2$, kita bisa membongkar isi koper tersebut terlebih dahulu dengan menjabarkan suku kuadrat binomial $(a - b)^2$.

Berdasarkan bagan alur di atas, penjabaran $(a - b)^2$ menghasilkan $a^2 - 2ab + b^2$. Saat kita tambahkan suku $+2ab$ di belakangnya, suku $-2ab$ dan $+2ab$ saling meniadakan menjadi $0$. Pembilang pecahan tersebut kini menjadi sangat ringkas: $a^2 + b^2$.

Dengan demikian, bentuk definisi operasi biner kita yang bersih dan siap pakai adalah:

$$a \odot b = \frac{a^2 + b^2}{a + b}$$

Membangun Persamaan Kuadrat

Mensubstitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus sederhana akan menghasilkan persamaan aljabar satu variabel.

Setelah rumus operasi biner dirapikan, sekarang saatnya 'menimbang koper' kita. Soal menyebutkan bahwa nilai $a \odot 2 = 5$. Artinya, kita dapat memasukkan nilai $b = 2$ ke dalam pecahan yang sudah bersih tadi:

$$\frac{a^2 + 2^2}{a + 2} = 5 \implies \frac{a^2 + 4}{a + 2} = 5$$

Ilustrasi timbangan di atas menggambarkan sifat kesamaan dalam aljabar: apa pun operasi yang diterapkan pada satu ruas, harus diterapkan setara pada ruas lainnya agar posisinya tetap seimbang. Untuk menghilangkan bentuk pecahan, kita kalikan kedua ruas dengan penyebut $(a + 2)$:

$$a^2 + 4 = 5(a + 2)$$

Uraikan ruas kanan menjadi $5a + 10$. Selanjutnya, kita pindahkan seluruh suku di ruas kanan ke ruas kiri agar persamaan kuadrat berada dalam bentuk standar yang bernilai nol:

$$\begin{aligned} a^2 + 4 &= 5a + 10 \\ a^2 - 5a + 4 - 10 &= 0 \\ a^2 - 5a - 6 &= 0 \end{aligned}$$

Jurus Memfaktorkan

Memfaktorkan persamaan kuadrat $a^2 + ba + c = 0$ berarti mencari dua bilangan yang hasil kalinya $c$ dan jumlahnya $b$.

Tantangan kita berikutnya adalah menyelesaikan persamaan kuadrat $a^2 - 5a - 6 = 0$. Kita membutuhkan dua angka, sebut saja $p$ dan $q$, yang memenuhi:

• Hasil kali: $p \times q = -6$

• Jumlah: $p + q = -5$

Melalui simulasi di atas, kita menguji kombinasi faktor dari $-6$. Karena hasil kalinya negatif, salah satu bilangan bertanda positif dan yang lainnya bertanda negatif:

• Jika memilih $2$ dan $-3$, jumlahnya adalah $2 + (-3) = -1$ (belum cocok).

• Jika memilih $1$ dan $-6$, jumlahnya adalah $1 + (-6) = -5$ (tepat!).

Maka, persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi:

$$(a + 1)(a - 6) = 0$$

Dari pemfaktoran ini, kita memperoleh dua kandidat akar, yaitu $a = -1$ atau $a = 6$.