Trik Memfaktorkan Persamaan Diophantine

Satu Persamaan, Dua Variabel

Satu persamaan dengan dua variabel bisa diselesaikan secara spesifik jika ada syarat tambahan berupa batasan bilangan bulat. Dalam sistem aljabar biasa, satu persamaan dengan dua variabel bebas seperti $xy + 2x + y = 18$ memiliki pasangan solusi yang tak terhingga banyaknya dan membentuk sebuah kurva kontinu di bidang koordinat.

Namun, ketika sebuah soal menetapkan bahwa $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat positif, persamaan ini berubah menjadi Persamaan Diophantine: persamaan aljabar yang solusinya dibatasi hanya pada bilangan bulat. Batasan ini bertindak seperti saringan ketat yang memotong garis kurva kontinu menjadi hanya beberapa titik diskrit saja.

Bayangkan situasi ini seperti mencari luas lantai dari ubin-ubin utuh. Luas adalah hasil kali panjang dan lebar dinding. Karena ubin tidak boleh dipotong (bilangan bulat), kita tidak bisa sembarangan memilih kombinasi pecahan atau desimal. Kita hanya bisa memilih ukuran-ukuran utuh yang pas menutup ruangan.

Membongkar Pola Pemfaktoran

Bentuk penjumlahan aljabar $xy + Ax + By$ dapat dibungkus menjadi perkalian dua kurung $(x + B)(y + A)$ dengan menambahkan suatu konstanta. Teknik pemfaktoran ini merupakan langkah paling mendasar untuk mengubah bentuk jumlahan yang rumit menjadi perkalian faktor-faktor sederhana.

Mari kita tinjau kembali hasil ekspansi perkalian dua kurung standar:

$$(x + A)(y + B) = xy + Bx + Ay + AB$$

Jika kita cocokkan dengan bentuk aljabar pada persamaan soal, yaitu $xy + 2x + 1y$:

• Koefisien di depan $x$ adalah $2$, yang berarti nilai $B = 2$.

• Koefisien di depan $y$ adalah $1$, yang berarti nilai $A = 1$.

Diagram di atas mengilustrasikan pembagian luas area persegi panjang. Kita sudah memiliki area seluas $xy$, seluas $2x$, dan seluas $1y$. Namun, agar keempat bagian tersebut menyatu membentuk sebuah persegi panjang utuh yang bisa difaktorkan, kita masih kekurangan area di pojok kanan bawah, yaitu suku konstanta $A \times B = 1 \times 2 = 2$.

Trik Menambahkan Konstanta

Menambahkan konstanta penyeimbang ke kedua sisi persamaan tidak merusak nilainya, tetapi memungkinkan pemfaktoran aljabar yang sempurna. Jika kita hanya menambahkan angka pada satu sisi saja, persamaan tersebut akan menjadi berat sebelah dan keliru.

Berdasarkan analisis pola sebelumnya, kita tahu bahwa suku pelengkap yang dibutuhkan adalah $2$. Sekarang, mari kita tambahkan angka $2$ pada kedua ruas persamaan $xy + 2x + y = 18$:

$$(xy + 2x + y) + 2 = 18 + 2$$

$$xy + 2x + y + 2 = 20$$

Sekarang kelompokkan suku-sukunya dan lakukan pemfaktoran:

$$x(y + 2) + 1(y + 2) = 20$$

$$(x + 1)(y + 2) = 20$$

Bentuk persamaan yang tadinya rumit kini telah berubah menjadi analogi mencari ubin: hasil kali dua faktor utuh, yaitu $(x + 1)$ dan $(y + 2)$, harus bernilai tepat sama dengan $20$.