Menaklukkan Barisan Rekursif: Translasi & Titik Tetap

Rekursi Bukan Jalan Satu Arah

Sering banget kita mikir kalau rumus rekursif itu kayak mesin yang cuma bisa jalan maju. Dikasih $a_1$, keluar $a_2$. Dikasih $a_2$, keluar $a_3$.

Di soal ini, kita dikasih $a_3 = 5$, tapi opsi A malah nanyain $a_1$. Gimana cara mundurnya?

Sebenarnya, persamaan $a_{n+1} = 3 - 2a_n$ itu cuma persamaan kesetaraan biasa. Kalau kita tahu nilai di ruas kiri ($a_{n+1}$), kita tinggal utak-atik aljabarnya buat nyari nilai di ruas kanan ($a_n$).

Mari kita isolasi $a_n$-nya:

Nah, sekarang kita punya rumus mundur. Dari $a_3 = 5$, kita bisa cari $a_2$:

Lalu, terapin lagi buat cari $a_1$:

Karena $a_1 = 2$ dan $2$ adalah bilangan bulat, kita sekarang tahu Pernyataan I bernilai BENAR.

Batas Cara Manual & Kebutuhan Rumus Eksplisit

Sekarang kita tahu $a_1=2$, $a_2=-1$, dan $a_3=5$. Mari pakai rumus majunya buat cari $a_4$ dan $a_5$ (untuk nguji Pernyataan II).

Dari sini kelihatan: $a_5 - a_4 = 17 - (-7) = 24$. (Ini membuktikan Pernyataan II SALAH, karena opsinya bilang $-8$).

Coba perhatikan barisannya: $2, -1, 5, -7, 17, \dots$ Tandanya bergantian antara positif dan negatif (osilasi), dan angkanya makin lama makin gede. Mirip banget sama barisan geometri yang punya rasio $-2$, kan?

Tapi masalahnya muncul di Pernyataan III: "Tentukan apakah $a_{2026} > 1$".

Kebayang nggak sih kalau kamu nebak-nebak (ngacak) jawaban karena ngerasa harus ngitung manual sampai dua ribu kali? Cara manual udah nggak relevan di sini. Kita wajib nemuin rumus eksplisit (rumus langsung $a_n$), bukan sekadar rumus yang butuh suku sebelumnya.

Di halaman berikutnya, kita akan pelajari cara ngubah rumus campuran ini jadi barisan geometri murni biar rumusnya bisa langsung dipakai buat $a_{2026}$.

Ide Mentranslasi Barisan

Bentuk $a_{n+1} = -2a_n + 3$ itu "nyaris" geometri murni, tapi rusak gara-gara ada konstanta $+3$.

Barisan geometri murni itu bentuknya sangat rapi dan simpel:

(langsung dikali rasio, gak ada embel-embel ditambah/dikurang angka).

Kalau kita punya geometri murni, rumusnya gampang banget dicari: $S_n = S_1 \cdot r^{n-1}$. Pertanyaannya: gimana cara kita "menghilangkan" angka $+3$ pengganggu itu?

Kita akan definisikan sebuah barisan baru, sebut saja $b_n$, yang merupakan pergeseran dari barisan $a_n$. Kita misalkan:

Dengan $c$ adalah sebuah konstanta misterius (angka pergeseran) yang nantinya bakal menyerap angka $+3$. Kalau kita substitusi ini ke dalam persamaan awal $a_{n+1} = -2a_n + 3$, kita dapat:

Tujuannya adalah mencari nilai $c$ yang pas supaya bentuk $b_n$ menjadi barisan geometri murni tanpa konstanta tambahan!