Misteri Derajat Sisa Polinomial
Filosofi Sisa Pembagian
Sisa pembagian selalu memiliki 'ukuran' yang lebih kecil daripada pembaginya.
Ingat kembali cara kita membagi bilangan saat di sekolah dasar: jika $17$ dibagi $5$, kita mendapatkan hasil bagi $3$ dan menyisakan $2$. Sisa $2$ tersebut tidak dapat dibagi lagi secara bulat karena nilainya sudah lebih kecil dari pembaginya, yaitu $5$. Seandainya kita mengklaim sisanya adalah $7$, pembagian tersebut belum selesai karena $7$ masih bisa memuat satu buah angka $5$ lagi.
Prinsip 'ukuran lebih kecil' ini berlaku persis sama pada suku banyak (polinomial). Bedanya, dalam aljabar, ukuran suatu suku banyak tidak diukur dari besar-kecilnya nilai angka, melainkan dari derajat atau pangkat tertinggi variabelnya. Jika suatu suku banyak dibagi oleh bentuk berderajat tertentu, maka sisa pembagiannya wajib memiliki derajat yang lebih rendah dari pembagi tersebut.
Berdasarkan prinsip ukuran sisa, mengapa suatu polinomial yang dibagi dengan $x^3$ tidak mungkin memiliki sisa pembagian berbentuk $x^3 + 2x + 1$?
- Karena sisa pembagian aljabar harus selalu berupa angka konstan berderajat nol.
- Karena sisa pembagian harus memiliki derajat pangkat yang lebih kecil daripada pembaginya.
- Karena hasil pembagian tersebut harus dihitung ulang dengan cara memfaktorkannya terlebih dahulu.
- Karena nilai x belum diketahui sehingga ukuran sisanya belum bisa dipastikan.
Jawaban: Karena sisa pembagian harus memiliki derajat pangkat yang lebih kecil daripada pembaginya.
Ukuran pada pembagian suku banyak diukur dari derajat (pangkat tertinggi). Karena pembaginya berderajat 3 ($x^3$), maka sisa pembagian wajib berderajat maksimal 2. Bentuk $x^3 + 2x + 1$ masih memiliki derajat 3, sehingga proses pembagian sebenarnya belum tuntas. Sisa tidak harus konstanta dan tidak bergantung pada nilai spesifik $x$.
Syarat sisa pembagian dalam aritmetika maupun derajat aljabar.
Teorema Sisa Tanpa Horner
Nilai sebuah fungsi $f(c)$ adalah sama dengan sisa fungsi tersebut jika dibagi oleh $(x - c)$.
Mencari sisa pembagian memakai porogapit (pembagian bersusun panjang) atau skema Horner memang logis, tetapi memakan waktu dan ruang yang panjang. Di sinilah Teorema Sisa hadir sebagai jalan pintas aljabar. Hubungan dasar pembagian dapat dituliskan sebagai:
$$f(x) = (x - c) \cdot H(x) + S$$
Jika kita memilih nilai $x = c$, suku pembagi $(x - c)$ akan menjadi nol, melenyapkan hasil bagi $H(x)$, dan menyisakan kesamaan langsung: $f(c) = S$.
Dengan Teorema Sisa, kita dapat menerjemahkan kalimat soal secara instan. Ketika soal menyatakan bahwa $f(x)$ dibagi $(x - 1)$ bersisa $9$, itu adalah bahasa sandi langsung untuk fakta aljabar: $f(1) = 9$. Demikian pula, saat soal menyebutkan bahwa $f(x)$ dibagi $(x + 1)$ bersisa $7$, pembuat nol dari $(x + 1)$ adalah $x = -1$, sehingga kita langsung memperoleh $f(-1) = 7$.
Tentukan kebenaran dari terjemahan Teorema Sisa berikut:
- Jika $g(x)$ dibagi $(x - 5)$ bersisa $12$, maka dapat dipastikan $g(5) = 12$. — Benar
- Jika fungsi $h(x)$ dibagi $(x + 3)$ bersisa $0$, itu berarti $h(3) = 0$. — Salah
Pernyataan 1 Benar: Pembuat nol dari $(x - 5)$ adalah $x = 5$, sehingga menurut Teorema Sisa, sisa pembagian adalah nilai fungsi di titik tersebut, yaitu $g(5) = 12$. Pernyataan 2 Salah: Pembuat nol dari $(x + 3)$ adalah $x = -3$, sehingga hubungan yang benar adalah $h(-3) = 0$, bukan $h(3) = 0$.
Kemampuan menerjemahkan informasi sisa ke notasi fungsi Teorema Sisa.
Mencari Koefisien Tersembunyi
Informasi sisa dari Teorema Sisa bisa dipakai sebagai sistem persamaan untuk menemukan nilai variabel yang hilang di dalam fungsi.
Suku banyak pada soal kita memiliki dua koefisien yang belum diketahui, yaitu $p$ dan $q$:
$$f(x) = x^4 + px^3 + qx^2 + 2x + 5$$
Dua informasi sisa yang sudah kita terjemahkan sebelumnya, yaitu $f(1) = 9$ dan $f(-1) = 7$, berperan sebagai dua kunci aljabar untuk membuka dua variabel yang tersembunyi tersebut:
Persamaan 1 dari $f(1) = 9$: Substitusikan $x = 1$ ke fungsi $f(x)$:
$$(1)^4 + p(1)^3 + q(1)^2 + 2(1) + 5 = 9 \implies p + q + 8 = 9 \implies p + q = 1$$
Persamaan 2 dari $f(-1) = 7$: Substitusikan $x = -1$ ke fungsi $f(x)$:
$$(-1)^4 + p(-1)^3 + q(-1)^2 + 2(-1) + 5 = 7 \implies 1 - p + q - 2 + 5 = 7 \implies -p + q = 3$$
Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut, variabel $p$ saling meniadakan: $(p + q) + (-p + q) = 1 + 3$, menghasilkan $2q = 4$, sehingga didapat $q = 2$. Selanjutnya, memasukkan $q = 2$ ke persamaan pertama menghasilkan $p + 2 = 1$, atau $p = -1$.