Barisan Aritmetika: Menyingkap Urutan dan Nilai

Total vs Setoran Harian

Suku ke-$n$ ($U_n$) bisa dicari dengan mengurangkan jumlah $n$ suku pertama ($S_n$) dengan total sebelumnya ($S_{n-1}$).

Bayangkan sebuah tabungan bertingkat di dalam celengan:

• $S_n$ adalah total seluruh uang yang sudah terkumpul di celengan sampai hari ke-$n$.

• $U_n$ adalah uang yang kamu setorkan khusus pada hari ke-$n$ saja.

Jika pada hari ke-1 celengan berisi uang, tentu isi celengan tersebut adalah setoran hari pertama itu sendiri ($U_1 = S_1$). Pada hari ke-2, total uang di celengan menjadi $S_2$. Untuk tahu berapa lembar uang yang disetor hanya pada hari ke-2, kamu cukup menghitung selisih tabungan hari ini dengan kemarin: $U_2 = S_2 - S_1$.

Logika yang sama berlaku untuk hari ke berapa pun. Uang yang masuk khusus hari ini ($U_n$) adalah total tabungan hari ini ($S_n$) dikurangi total tabungan hari kemarin ($S_{n-1}$):

$$U_n = S_n - S_{n-1}$$

Eksplorasi visual di atas memperlihatkan bagaimana setoran harian ($U_n$) menumpuk di atas total hari kemarin ($S_{n-1}$) untuk menghasilkan total hari ini ($S_n$). Mengurangkan total hari ini dengan total hari kemarin selalu menyisakan balok setoran hari itu saja.

Membongkar Rumus Un

Menjabarkan $S_{n-1}$ membutuhkan ketelitian tanda aljabar agar tidak terjadi kesalahan operasi saat menghitung rumus suku umum.

Pada soal kita, rumus total tabungan diberikan sebagai:

$$S_n = n^2 + 3n$$

Untuk mencari rumus setoran harian $U_n$, kita perlu menyusun bentuk aljabar untuk total tabungan kemarin, yaitu $S_{n-1}$. Gantikan setiap huruf $n$ dengan $(n-1)$:

$$S_{n-1} = (n-1)^2 + 3(n-1)$$

Mari kita uraikan satu per satu dengan teliti:

• Suku kuadrat: $(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$

• Suku linier: $3(n-1) = 3n - 3$

Jika digabungkan:

$$S_{n-1} = (n^2 - 2n + 1) + (3n - 3) = n^2 + n - 2$$

Sekarang kurangkan $S_n$ dengan $S_{n-1}$. Jangan lupa membungkus seluruh ekspresi $S_{n-1}$ dengan tanda kurung:

$$U_n = (n^2 + 3n) - (n^2 + n - 2)$$

$$U_n = n^2 + 3n - n^2 - n + 2$$

$$U_n = 2n + 2$$

Nomor Antrean vs Isi Dompet

Indeks (nomor urut) tidak bisa disamakan atau dioperasikan langsung dengan nilai sukunya.

Banyak orang terkecoh mengira mencari suku ke-$(a+b)$ sama saja dengan menjumlahkan nilai suku ke-$a$ ditambah suku ke-$b$ ($U_a + U_b$). Ini dua hal yang sangat berbeda:

• Indeks ($n$) ibarat nomor antrean seseorang di sebuah loket.

• Suku ke-$n$ ($U_n$) ibarat isi dompet atau uang yang dibawa oleh orang di antrean tersebut.

Ketika soal menanyakan suku ke-$(a+b)$, artinya kita mencari isi dompet dari satu orang yang berdiri di nomor antrean $(a+b)$. Kita bukan menjumlahkan isi dompet dua orang yang berbeda!

Mari kita cari nomor antrean orang pertama ($a$) dan orang kedua ($b$) menggunakan rumus isi dompet $U_n = 2n + 2$:

1. Mencari indeks $a$: Orang ini memiliki uang 20 ($U_a = 20$).

   $$2a + 2 = 20 \implies 2a = 18 \implies a = 9$$

2. Mencari indeks $b$: Orang ini memiliki uang 40 ($U_b = 40$).

   $$2b + 2 = 40 \implies 2b = 38 \implies b = 19$$

Nomor antrean mereka masing-masing adalah 9 dan 19.