Taktik Sistematis Program Linear

Langkah 1: Menentukan 'Aktor' dan 'Tujuan'

Saat membaca soal cerita yang panjang dan penuh angka, jangan langsung panik mencoba menghitung semuanya sekaligus. Kunci pertama dalam memecahkan soal Program Linear adalah memisahkan dua hal mendasar: siapa aktor yang sedang kita atur jumlahnya dan apa tujuan akhir yang ingin kita capai.

Aktor dalam pemodelan matematika disebut sebagai variabel keputusan (decision variables), yaitu objek nyata yang jumlah produksinya bisa kita kendalikan:

• Misalkan $x$ = banyak pakaian Model I yang dibuat.

• Misalkan $y$ = banyak pakaian Model II yang dibuat.

Setelah aktornya jelas, carilah target finansialnya. Di soal ini, penjahit ingin meraup keuntungan atau omzet sebesar-besarnya dari penjualan pakaian. Inilah yang disebut fungsi objektif (tujuan utama):

• Setiap potong Model I menghasilkan Rp$150.000,00$ $\rightarrow$ total dari Model I adalah $150.000x$.

• Setiap potong Model II menghasilkan Rp$100.000,00$ $\rightarrow$ total dari Model II adalah $100.000y$.

Maka, rumus tujuan penjahit kita tuliskan secara ringkas:

Langkah 2: Jebakan Tanda Pertidaksamaan

Banyak yang sering terjebak ketika menerjemahkan batasan bahan ke simbol matematika: apakah harus memakai $\le$ (kurang dari sama dengan) atau $\ge$ (lebih dari sama dengan)?

Kuncinya ada pada kata "persediaan", "stok", atau "kapasitas maksimal". Penjahit kita hanya memiliki $20\text{ m}$ kain polos dan $20\text{ m}$ kain bergaris di gudang. Kain yang dipakai boleh pas $20\text{ m}$, boleh bersisa (kurang dari $20\text{ m}$), tapi mustahil melebihi $20\text{ m}$. Oleh karena itu, tandanya wajib $\le$.

Mari kelompokkan angka berdasarkan jenis sumber daya yang sama (baris demi baris, bukan model pakaian):

1. Batasan Kain Polos:

   • 1 potong Model I ($x$) butuh $1\text{ m}$ $\rightarrow 1x$

   • 1 potong Model II ($y$) butuh $2\text{ m}$ $\rightarrow 2y$

   • Total stok hanya $20\text{ m} \rightarrow x + 2y \le 20$

2. Batasan Kain Bergaris:

   • Model I butuh $3\text{ m}$ $\rightarrow 3x$

   • Model II butuh $1\text{ m}$ $\rightarrow 1y$

   • Total stok hanya $20\text{ m} \rightarrow 3x + y \le 20$

3. Syarat Non-Negatif (Wajib Ada): Jumlah baju yang diproduksi di dunia nyata tidak mungkin minus! Maka selalu sertakan syarat mutlak: $$x \ge 0 \quad \text{dan} \quad y \ge 0$$

Langkah 3: Mencari Titik 'Mentok' (Pojok)

Kenapa kita tidak perlu mencoba sembarang kombinasi seperti $(1, 1)$ atau $(2, 3)$?

Dalam teorema optimasi program linear (Corner Point Theorem), nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi linear selalu tercapai di salah satu titik pojok (titik sudut / ekstrim) dari daerah himpunan penyelesaian (DHP). Di titik-titik inilah sumber daya kita dimanfaatkan paling mentok.

Untuk menemukan titik-titik pojok tersebut secara taktis, ikuti 3 langkah berikut:

1. Cari Titik Potong dengan Sumbu Koordinat

Ubah sementara tanda $\le$ menjadi tanda sama dengan ($=$):

• Garis kain polos: $x + 2y = 20$

  • Jika $x = 0 \implies y = 10 \rightarrow (0, 10)$

  • Jika $y = 0 \implies x = 20 \rightarrow (20, 0)$

• Garis kain bergaris: $3x + y = 20$

  • Jika $x = 0 \implies y = 20 \rightarrow (0, 20)$

  • Jika $y = 0 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \rightarrow \left(\frac{20}{3}, 0\right)$

2. Cari Titik Potong Kedua Garis (Sistem Eliminasi)

Titik perpotongan antara kedua garis terjadi saat kain polos dan kain bergaris sama-sama habis:

Substitusi nilai $y = 8$ ke salah satu persamaan:

Diperoleh titik potong $(4, 8)$.

3. Tentukan Batas Daerah Penyelesaian

Karena kedua pertidaksamaan bertanda $\le$, daerah penyelesaian berada di dekat titik asal $(0,0)$ di bawah kedua garis. Titik-titik pojok daerah yang valid adalah:

• Titik $O(0, 0)$

• Titik $A\left(\frac{20}{3}, 0\right)$ (karena garis kedua memotong sumbu-$x$ lebih dulu sebelum 20)

• Titik $B(4, 8)$ (titik potong kedua garis)

• Titik $C(0, 10)$ (karena garis pertama memotong sumbu-$y$ lebih dulu sebelum 20)