Menyusun Kode: Memecah Slot Selang-Seling
Memisahkan Slot Karakter
Posisi karakter yang selang-seling dalam suatu kode tidak mengubah aturan bahwa kita mengambil pilihan dari himpunan yang mandiri.
Format kode akses kupon bazar pada soal terdiri atas $5$ posisi berurutan: A - X - B - Y - C. Meski urutannya bersilangan, perhatikan karakteristik penyusunnya:
Posisi A, B, dan C adalah karakter huruf, yang diambil khusus dari himpunan alfabet.
Posisi X dan Y adalah karakter angka, yang diambil khusus dari himpunan angka.
Karena operasi pada aturan perkalian bersifat komutatif (dapat ditukar urutannya), kita dapat menghitung total pilihan seluruh posisi huruf terlebih dahulu, lalu menghitung posisi angka, baru mengalikan keduanya di akhir.
Pengurangan pada Huruf
Syarat tidak boleh berulang berarti jumlah ketersediaan pilihan hanya berkurang satu tiap kali satu karakter dari himpunan yang sama digunakan.
Mari kita fokus terlebih dahulu pada slot huruf, yaitu posisi A, B, dan C. Himpunan semesta alfabet menyediakan $26$ pilihan huruf ($A$ hingga $Z$):
Posisi A: Belum ada huruf yang terpakai, sehingga tersedia $26$ pilihan.
Posisi B: Huruf yang sudah terpilih di posisi A tidak boleh digunakan lagi, sehingga tersisa $25$ pilihan.
Posisi C: Dua huruf telah digunakan pada posisi A dan B, menyisakan $24$ pilihan.
Berdasarkan metode filling slots, banyak cara menyusun ketiga huruf tersebut adalah:
$$26 \times 25 \times 24 = 15.600\text{ kombinasi}$$
Seseorang ingin memilih 3 huruf berbeda untuk disusun secara acak dari huruf-huruf pembentuk kata 'BINTANG'. Berapa banyak pilihan huruf yang tersedia untuk posisi pertama, kedua, dan ketiga secara berurutan?
- 6, 5, dan 4 pilihan.
- 6, 6, dan 6 pilihan.
- 7, 6, dan 5 pilihan.
- 6, 4, dan 2 pilihan.
Jawaban: 6, 5, dan 4 pilihan.
Kata 'BINTANG' memiliki 7 huruf dengan satu huruf berulang ('N'), sehingga hanya ada 6 huruf unik: B, I, N, T, A, G. Karena huruf tidak boleh diulang, slot pertama memiliki 6 pilihan, slot kedua berkurang satu menjadi 5 pilihan, dan slot ketiga tersisa 4 pilihan. Opsi B salah karena mengabaikan syarat tanpa pengulangan. Opsi C salah karena menghitung panjang huruf kata tanpa mengecek huruf ganda. Opsi D salah karena mengurangi stok secara sembarangan.
Penentuan jumlah pilihan untuk posisi berturut-turut pada himpunan yang sama tanpa pengulangan
Pilihan Angka & Nilai Nol
Dalam menyusun suatu format kode akses, karakter angka berfungsi sebagai simbol unik sehingga angka nol sah ditempatkan di mana saja.
Sekarang kita tinjau kelompok karakter angka pada posisi X dan Y. Himpunan semesta angka desimal terdiri atas $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, dengan total $10$ anggota:
Posisi X: Karena kode akses kupon berfungsi sebagai identitas unik (bukan nilai besaran kuantitas seperti ribuan atau jutaan), angka $0$ sepenuhnya sah berada di posisi pertama. Oleh karena itu, posisi X memiliki $10$ pilihan.
Posisi Y: Karena angka tidak boleh berulang, $1$ karakter angka yang telah ditempatkan pada posisi X tidak boleh dipakai lagi. Tersisa $9$ pilihan untuk posisi Y.
Total kombinasi untuk kelompok karakter angka adalah:
$$10 \times 9 = 90\text{ kombinasi}$$
Sebuah kode PIN kartu memori terdiri atas 4 digit karakter angka acak tanpa pengulangan. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut!
- Angka pertama memiliki 10 pilihan kemungkinan, dari 0 hingga 9. — Benar
- Jika angka 0 dipilih pada posisi pertama, posisi kedua tersisa 10 pilihan. — Salah
- Jika syarat tanpa pengulangan berlaku, angka keempat hanya memiliki 7 pilihan. — Benar
Pernyataan 1 Benar: PIN merupakan kode pengenal, bukan nilai kuantitas matematis, sehingga angka 0 sah digunakan di posisi paling depan (tersedia angka 0 hingga 9, total 10 opsi). Pernyataan 2 Salah: Karena syarat tanpa pengulangan berlaku, jika angka 0 sudah terpakai di posisi pertama, sisa pilihan di posisi kedua berkurang satu menjadi 9 pilihan. Pernyataan 3 Benar: Tiga digit sebelumnya telah memakai 3 karakter angka berbeda dari 10 angka yang ada, sehingga untuk posisi keempat tersisa $10 - 3 = 7$ pilihan.
Ketetapan penggunaan angka 0 pada pembentukan sebuah kode acak (bukan bilangan matematika)