Peluang Bersyarat dan Aturan Perkalian

Peluang dan Ruang Sampel

Pernahkah kamu memikirkan apa sebenarnya arti angka dari sebuah "peluang"? Dalam teori peluang formal, kita tidak hanya menebak-nebak, tetapi kita memetakan semua kemungkinan ke dalam sebuah ruang sampel atau semesta ($S$).

Pada titik waktu $t=1$ (saat keranjang masih utuh sebelum pengambilan apa pun dilakukan), kita mendefinisikan ruang sampel kita. Di dalamnya terdapat himpunan apel merah ($M$) dan himpunan apel hijau ($H$).

Menurut definisi peluang aksiomatik, peluang suatu kejadian adalah rasio ukuran himpunan kejadian tersebut terhadap ukuran total semestanya pada satu titik waktu tertentu. Dalam matematika, ukuran himpunan disebut kardinalitas, dilambangkan dengan huruf $n$.

Karena semesta awal kita berisi $5$ apel merah dan $3$ apel hijau, maka kardinalitas ruang sampel pertama adalah $n(S_1) = 5 + 3 = 8$.

Oleh karena itu, probabilitas kita mengambil apel merah pada tahap pertama secara formal ditulis sebagai $P(M_1) = \frac{n(M_1)}{n(S_1)} = \frac{5}{8}$.

Dinamika Tanpa Pengembalian: Peluang Bersyarat

Dari jawaban diagnosamu sebelumnya, kamu beranggapan bahwa peluang pada pengambilan kedua tetap sama, yaitu $5/8$. Hal ini hanya benar jika apel dikembalikan lagi ke keranjang (kejadian saling bebas).

Mari kita bongkar secara matematis apa yang terjadi jika apel tidak dikembalikan.

Pengambilan TANPA pengembalian secara matematis memotong ukuran ruang sampel semesta ($n(S)$) dan juga bisa memotong ukuran himpunan target kita ($n(A)$).

Setelah 1 apel merah diambil pada tahap pertama, elemen dalam ruang sampel berkurang 1 sehingga kini $n(S_2) = 7$. Jumlah elemen apel merah pun ikut berkurang 1 menjadi $n(M_2) = 4$.

Kondisi inilah yang melahirkan apa yang disebut Peluang Bersyarat (Conditional Probability).

Probabilitas pengambilan apel merah kedua ditulis formal secara matematis sebagai $P(M_2 \mid M_1)$. Artinya: Peluang terambilnya apel merah kedua ($M_2$), dengan syarat apel merah pertama telah terambil ($M_1$).

Berdasarkan ukuran kardinalitas himpunan yang baru (tersisa $4$ merah dari total $7$ apel), probabilitasnya adalah: $P(M_2 \mid M_1) = \frac{4}{7}$

Hal yang persis sama berlaku untuk pengambilan ketiga (target: apel hijau). Ruang sampel telah berkurang dua merah ($n(S_3) = 6$), tetapi jumlah apel hijaunya masih utuh ($n(H_3) = 3$). Maka peluang bersyaratnya: $P(H_3 \mid M_1 \cap M_2) = \frac{3}{6}$

Kapan Dikali dan Kapan Ditambah?

Kamu mungkin bertanya-tanya, setelah mendapatkan peluang $5/8$, $4/7$, dan $3/6$, mengapa angka-angka ini harus dikalikan, bukan ditambahkan? Ini berkaitan dengan aturan kombinasi himpunan dan teori probabilitas.

Banyak siswa tertukar membedakan kapan memakai aturan perkalian (DAN) versus aturan penjumlahan (ATAU). Mari kita lihat visualisasinya menggunakan diagram pohon.

Dalam probabilitas, kita menggunakan Aturan Perkalian (untuk irisan / intersection) ketika dua kejadian atau lebih harus terjadi secara berurutan dalam satu rute spesifik. Secara matematis: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$. Kata kuncinya adalah DAN. Karena pecahan dikali pecahan akan menghasilkan nilai yang lebih kecil, probabilitas keseluruhan sebuah rantai kejadian (seperti mendapat jackpot berulang kali) akan makin mengecil.

Sebaliknya, Aturan Penjumlahan (untuk gabungan / union) digunakan ketika kejadian-kejadian tersebut saling lepas, dan kita mencari rute alternatif mana saja yang bisa mengarah pada sebuah hasil. Secara matematis: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Kata kuncinya adalah ATAU.

Pada soal ini, kita meminta urutan yang sangat spesifik dan tunggal: Merah pertama terjadi, DAN Merah kedua terjadi, DAN Hijau ketiga terjadi. Tidak ada jalur alternatif lain yang diizinkan (misalnya Hijau-Merah-Merah tidak dihitung). Itulah sebabnya probabilitas ketiganya WAJIB dikalikan.