Membongkar Sandi Persamaan Lingkaran

Bukan Sekadar Hafalan: Asal Mula Rumus

Bayangkan seekor anjing yang diikat dengan tali ke sebuah patok di tengah-tengah lapangan rumput. Ke mana pun ia berlari sejauh tali mengizinkan, batas area mainnya pasti akan membentuk sebuah lingkaran sempurna.

Dalam matematika, patok itu adalah titik pusat, dan panjang tali adalah jari-jari (radius). Definisi dasar dari lingkaran sebenarnya sesederhana itu: kumpulan semua titik yang jaraknya sama persis dari satu titik pusat.

Lalu, bagaimana cara menerjemahkan ide "jarak yang sama" ini ke dalam bahasa koordinat Cartesius? Jawabannya menggunakan rumus andalan yang sudah kita kenal sejak SMP: Teorema Pythagoras!

Kalau titik pusat lingkarannya ada di koordinat $(0,0)$ dan ujung tali (titik di tepi lingkaran) ada di koordinat $(x,y)$, maka kita bisa membuat segitiga siku-siku imajiner:

• Jarak mendatarnya sejauh $x$ (sebagai alas segitiga)

• Jarak vertikalnya sejauh $y$ (sebagai tinggi segitiga)

Dengan jari-jari $r$ sebagai sisi miringnya, Teorema Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ berubah wujud menjadi rumus persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 = r^2$.

Misteri Tanda Minus pada Rumus

Waktu di awal tadi, kamu sempat mengira kalau persamaan $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$ punya titik pusat di $(-3, 4)$ ya? Tenang, ini jebakan yang super sering terjadi! Mari kita bedah kenapa pikiran itu bisa kebalik.

Ingat lagi konsep Pythagoras di halaman sebelumnya. Kalau patok (pusat lingkaran) kita geser dari pusat $(0,0)$ ke titik koordinat baru, misalnya $(a,b)$, kita tidak lagi bisa langsung pakai $x$ dan $y$. Kita harus menghitung selisih jarak dari titik di tepi ke patok pusatnya.

• Selisih mendatar: posisi $x$ dikurangi posisi patok $a \rightarrow (x - a)$

• Selisih vertikal: posisi $y$ dikurangi posisi patok $b \rightarrow (y - b)$

Dari sinilah rumus Pythagoras aslinya melar menjadi: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Perhatikan bahwa rumus aslinya memang memakai tanda kurang.

Jadi, ketika kamu melihat persamaan $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$, cara membaca pusat $(a,b)$-nya adalah dengan membandingkannya secara apple-to-apple dengan template aslinya:

• $(x - a)$ dibandingkan dengan $(x - 3) \rightarrow$ Jelas nilai $a = 3$.

• $(y - b)$ dibandingkan dengan $(y + 4)$. Kok bisa jadi plus? Aslinya pasti karena minus bertemu minus, yaitu $(y - (-4))$. Sehingga nilai $b = -4$.

Memanen Variabel dari Soal

Sekarang, mari kita pakai ilmu 'baca persamaan' yang sudah diluruskan tadi untuk membongkar teka-teki Sprinkler A dan B di soal aslinya. Kunci utamanya adalah mencocokkan persamaan dari soal dengan template aslinya.

1. Membongkar Sprinkler A: Sprinkler A berada di pusat $(0,0)$ dan bentuk persamaannya $x^2 + y^2 = 25$. Template untuk pusat $(0,0)$ adalah $x^2 + y^2 = r^2$. Jika disejajarkan, jelas bahwa $r^2 = 25$, yang berarti jari-jarinya $r = 5$. Di soal, jari-jari ini disebut dengan $p$. Bagus, kita dapat variabel pertama: $p = 5$.

2. Membongkar Sprinkler B: Sprinkler B punya jari-jari yang sama (artinya r = 5), tetapi digeser 6 meter ke kanan, sehingga pusat barunya ada di $(6,0)$. Kalau kita masukkan ini ke template $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, wujud asli persamaan Sprinkler B seharusnya adalah: $(x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 25$.

Di dalam soal, persamaan Sprinkler B malah ditulis menggunakan huruf yang menyamar: $(x - q)^2 + (y + z)^2 = 25$. Mari kita sejajarkan kedua baris tersebut:

• Posisi $(x - 6)$ persis ditempati oleh $(x - q) \rightarrow$ Ini berarti $q = 6$.

• Posisi $(y - 0)$ persis ditempati oleh $(y + z) \rightarrow$ Ini berarti $z = 0$.