Misteri Relatif Prima dan Teka-Teki Tiga Bilangan

Bukan Bilangan Prima, Tapi 'Relatif' Prima

Di soal ada istilah relatif prima. Waktu kamu denger ini pertama kali, wajar kalau yang terlintas adalah "bilangan prima" kayak 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Padahal, dua hal ini beda banget!

Dua bilangan disebut saling relatif prima kalau mereka tidak punya pembagi yang sama selain angka 1, MESKIPUN kedua bilangan itu sendiri bukan bilangan prima.

Mari kita ambil contoh angka 4 dan 15. Apakah 4 bilangan prima? Bukan, dia bisa dibagi 2. Apakah 15 bilangan prima? Bukan, dia bisa dibagi 3 dan 5. Tapi, coba kita bedah faktor pembaginya:

Kalau kamu bandingin kedua daftar faktor di atas, satu-satunya angka yang ada di kedua daftar cuma angka 1. Inilah yang bikin 4 dan 15 disebut saling relatif prima.

Jadi, jangan langsung nyoret angka 4 dan 15 dari pikiranmu waktu disuruh cari bilangan yang saling relatif prima, ya!

Berdasarkan pemahamanmu tentang relatif prima, manakah dari pasangan bilangan berikut yang saling relatif prima?

  • A. 8 dan 12
  • B. 9 dan 20
  • C. 14 dan 21
  • D. 7 dan 28

Jawaban: B. 9 dan 20

9 (faktor: 1,3,9) dan 20 (faktor: 1,2,4,5,10,20) tidak memiliki faktor yang sama selain 1. Sedangkan pasangan lain bisa dibagi oleh angka selain 1 (seperti 2, atau 7).

Dua bilangan dikatakan relatif prima jika mereka tidak memiliki faktor persekutuan selain 1.

Mencari Pasangan x dan y

Nah, setelah paham apa itu relatif prima, mari kita bedah syarat pertama dari soal: kita butuh dua bilangan $x$ dan $y$ yang kalau dikalikan hasilnya 60 ($xy = 60$).

Langkah pertama yang paling aman adalah mendata semua kemungkinan pasangan angka yang hasil kalinya 60. Ingat, karena $x < y$, kita tulis angka yang lebih kecil duluan: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), dan (6, 10).

Sekarang, kita terapkan saringan relatif prima. Kita harus membuang pasangan yang punya angka pembagi bersama selain angka 1.

Coba bereksplorasi dengan daftar di atas!

Setelah disaring, pasangan kandidat yang lolos dan benar-benar saling relatif prima tinggal tersisa empat: (1, 60), (3, 20), (4, 15), dan (5, 12).

Coba tentukan manakah dari pasangan berikut ini yang BUKAN merupakan pasangan saling relatif prima dan mana yang valid!

  • (10, 25) — Bukan Relatif Prima
  • (8, 15) — Relatif Prima

(10, 25) bukan relatif prima karena bisa sama-sama dibagi 5. Sedangkan (8, 15) relatif prima karena tidak punya pembagi bersama selain 1.

Syarat relatif prima adalah mengecek ketiadaan pembagi bersama, berapapun besarnya bilangan.

Saringan Terakhir: Mencari Nilai z

Kita udah punya empat kandidat untuk pasangan $(x, y)$. Tapi tunggu dulu, masih ada syarat jumlah ketiga bilangan: $x + y + z = 30$.

Dari rumus itu, kita bisa memutar posisinya sedikit untuk mencari nilai $z$:

Namun, jangan lupa dengan satu aturan main lagi dari soal yang sangat penting: $x < y < z$. Artinya, angka $z$ wajib lebih besar dari $y$. Mari kita uji keempat kandidat kita ke dalam saringan terakhir ini.

Jadi, sudah terkunci, ya: nilai $x = 5$, $y = 12$, dan $z = 13$. Ketiganya adalah bilangan asli, memenuhi semua persyaratan, dan saling relatif prima satu sama lain.

Misalkan pada suatu soal, syarat diubah menjadi urutan $x > y > z$, dengan ketentuan nilai awal yang sama dan $x+y+z=30$. Manakah di bawah ini hasil z yang benar jika kita menguji pasangan kandidat $x=20$ dan $y=3$?

  • A. 7
  • B. -7
  • C. 23
  • D. Tidak valid

Jawaban: A. 7

Dengan rumus z = 30 - (x + y), kita dapatkan z = 30 - (20 + 3) = 7. Urutan 20 > 3 > 7 terpenuhi, sehingga hasil z yang valid adalah 7.

Memasukkan nilai kandidat ke dalam persamaan penjumlahan dan menguji konsistensinya terhadap syarat ketaksamaan yang diberikan.