Garis Bilangan: Peta Wilayah & Titik Uji

Jebakan Maut 'Kali Minus'

Persamaan asalmu di soal adalah $6 + x - x^2 > 0$. Bentuk ini emang agak repot buat difaktorkan karena ada $-x^2$ di belakang. Biar lebih familier dan gampang difaktorkan, bentuk ini sering disusun ulang jadi $-x^2 + x + 6 > 0$.

Masalahnya, angka $x^2$ yang negatif itu masih bikin pusing. Solusi paling gampang? Kita kalikan seluruh ruas dengan $-1$ agar si $x^2$ jadi positif: $x^2 - x - 6$.

TAPI AWAS: Ada jebakan maut di sini! Mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif itu ibarat memutar cermin 180 derajat. Sesuatu yang tadinya ada di ujung kiri (sangat kecil), tiba-tiba terlempar ke ujung kanan (sangat besar).

Karena kita mengalikan dengan $-1$, tanda pertidaksamaan kita harus jungkir balik. Pertidaksamaan $-x^2 + x + 6 > 0$ berubah wujud menjadi $x^2 - x - 6 < 0$.

Misi utama kita sekarang adalah mencari daerah penyelesaian untuk bentuk pemfaktorannya: $(x - 3)(x + 2) < 0$

Jika kamu memiliki pertidaksamaan $-x^2 > -4$ dan kamu ingin mengalikan kedua ruas dengan $-1$ agar $x^2$ menjadi positif, apa yang terjadi pada tanda pertidaksamaannya?

  • A. Tanda tetap, karena bilangan negatif di kedua ruas saling menghilangkan.
  • B. Tanda pertidaksamaan harus berbalik arah menjadi lebih kecil dari (<).
  • C. Persamaan tidak bisa diselesaikan karena mengandung nilai negatif.
  • D. Tanda berbalik arah, tapi nilai angkanya menjadi positif semua.

Jawaban: B. Tanda pertidaksamaan harus berbalik arah menjadi lebih kecil dari (<).

Saat mengalikan seluruh ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif (seperti -1), 'arah' atau letak bilangan di garis bilangan ikut terbalik (kiri jadi kanan, kanan jadi kiri), sehingga tanda > WAJIB berubah menjadi <.

Mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif akan membalikkan arah tanda pertidaksamaan.

Akar Sebagai Pos Perbatasan

ilustrasi

Setelah difaktorkan jadi $(x - 3)(x + 2) < 0$, kamu pasti udah tau cara dapet akarnya: $x = 3$ dan $x = -2$. Hebat, kamu udah berhasil ngelewatin tahap pemfaktoran dengan benar! Tapi, angka-angka ini sebenernya buat apa sih?

Bayangkan garis bilangan itu seperti sebuah jalan tol lurus yang sangat panjang. Angka $-2$ dan $3$ yang baru aja kamu temukan itu bertindak layaknya 'pos perbatasan' atau gerbang tol. Mereka adalah titik di mana nilainya pas $0$ (netral).

Dengan berdirinya dua pos perbatasan ($-2$ dan $3$), garis bilanganmu otomatis terbelah menjadi tiga wilayah:

  1. Wilayah Kiri: Semua angka sebelum $-2$ ($x < -2$)

  2. Wilayah Tengah: Semua angka di antara $-2$ dan $3$ ($-2 < x < 3$)

  3. Wilayah Kanan: Semua angka setelah $3$ ($x > 3$)

Sekarang, kita punya tiga wilayah misterius. Masing-masing wilayah punya 'iklim' sendiri—ada yang suhunya positif ($+$), ada yang negatif ($-$). Tugas kita selanjutnya adalah mencari tau cuaca di tiap wilayah tersebut!

Mengirim Mata-Mata (Titik Uji)

Untuk tau apakah suatu wilayah itu positif (panas) atau negatif (dingin), kita nggak perlu ngecek semua angka di wilayah itu. Capek banget! Kita cukup kirim 'mata-mata' berupa satu angka perwakilan dari tiap wilayah.

Mari kita pilih mata-mata untuk ketiga wilayah kita:

Sekarang kita udah punya tiga mata-mata jagoan: $-3$, $0$, dan $4$. Mereka siap menyusup ke wilayah masing-masing buat ngelaporin suhunya!

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut tentang pemilihan 'mata-mata' (titik uji) pada garis bilangan!

  • Angka 1 boleh digunakan sebagai mata-mata untuk Wilayah Tengah (antara -2 dan 3) karena ia berada di dalam rentang tersebut. — Benar
  • Angka 3 boleh digunakan sebagai mata-mata untuk Wilayah Kanan karena ia adalah awal dari wilayah tersebut. — Salah

Kita bebas memilih titik uji selama ia berada dalam rentang wilayah tersebut. Titik seperti 1 bisa digunakan untuk mengecek wilayah antara -2 dan 3, namun batas perbatasan (-2 dan 3) tidak boleh digunakan karena nilainya netral (0).

Pemilihan titik uji bebas, asalkan mewakili satu angka di dalam rentang wilayah yang ingin diuji.