Menjinakkan Pangkat Matriks Raksasa

Baris Ketemu Kolom

Perkalian matriks selalu memasangkan elemen berurutan dari baris matriks pertama dengan elemen dari kolom matriks kedua. Matriks sendiri adalah susunan bilangan dalam bentuk baris (horizontal) dan kolom (vertikal). Saat kita mengalikan dua matriks, kita tidak mengalikan angka di posisi yang sama secara langsung seperti penjumlahan biasa, melainkan menggunakan aturan perkalian matriks baris dikali kolom.

Untuk membayangkannya, gunakan sistem koordinat warna: baris di matriks kiri diwarnai kuning (jalur horizontal), sedangkan kolom di matriks kanan diwarnai biru (jalur vertikal). Saat baris kuning bertemu dengan kolom biru, titik pertemuannya di sel matriks hasil akan berwarna hijau. Posisikan telunjuk kirimu di baris pertama matriks kiri (kuning) dan telunjuk kananmu di kolom pertama matriks kanan (biru). Geser jari kiri ke arah kanan dan jari kanan ke arah bawah secara bersamaan langkah demi langkah. Kalikan angka yang ditunjuk jarimu pada setiap langkah, lalu jumlahkan semuanya untuk ditaruh di sel hasil (hijau).

Mari kita terapkan cara ini pada baris pertama dan kolom pertama matriks $B$ dari soal untuk mencari elemen kiri atas (baris 1, kolom 1) dari perkalian $B \times B$:

• Baris pertama matriks kiri: $2$, $-2$, $-4$

• Kolom pertama matriks kanan: $2$, $-1$, $1$

Langkah perhitungannya:

$$(2)(2) + (-2)(-1) + (-4)(1) = 4 + 2 - 4 = 2$$

Angka $2$ inilah yang mengisi sel baris 1 kolom 1 pada matriks hasil.

Saat Matriks Tak Berubah

Jika hasil perkalian suatu matriks dengan dirinya sendiri persis sama dengan matriks asalnya, matriks itu disebut idempoten. Banyak yang menduga bahwa mengalikan matriks dengan dirinya sendiri pasti akan melipatgandakan nilai bilangannya atau mengubah susunan angkanya menjadi wujud yang baru. Namun, pada jenis matriks tertentu, hal itu tidak terjadi.

Jika kita menuntaskan metode baris ketemu kolom tadi untuk seluruh $9$ sel perkalian matriks $B \times B$ dari soal:

$$B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}$$

Maka kita akan mendapati hasil perhitungan $B^2$ yang sangat istimewa:

Ternyata, seluruh elemen hasil perkalian $B^2$ menghasilkan angka $2, -2, -4$ pada baris pertama, $-1, 3, 4$ pada baris kedua, dan $1, -2, -3$ pada baris ketiga. Angka-angka ini persis sama dengan matriks $B$ awal.

Kondisi khusus di mana $B^2 = B$ inilah yang disebut sebagai matriks idempoten. Perilakunya mirip seperti angka $1$ dalam bilangan biasa, di mana $1^2 = 1$. Sekali dikalikan dengan dirinya sendiri, wujudnya tetap tidak berubah.

Logika Pangkat Matriks Idempoten

Matriks idempoten yang dipangkatkan dengan bilangan bulat positif berapapun akan selalu menghasilkan matriks itu sendiri. Ada anggapan keliru bahwa jika $A^2 = A$, maka saat dinaikkan ke pangkat tiga ($A^3$), hasilnya akan menjadi $A^2$ karena seolah-olah pangkatnya berkurang satu setiap kali dikalikan.

Mari kita bedah secara runtut mengapa anggapan tersebut tidak tepat. Berdasarkan arti perpangkatan, $B^3$ dapat ditulis sebagai perkalian $B^2 \times B$. Karena pada halaman sebelumnya kita sudah membuktikan bahwa $B^2 = B$, kita dapat langsung mengganti suku $B^2$ tersebut dengan $B$.

Akibat substitusi itu, bentuk $B^2 \times B$ segera runtuh menjadi $B \times B$. Dan seperti yang sudah kita ketahui, $B \times B$ kembali menghasilkan $B$. Dengan demikian, terbukti bahwa:

$$B^3 = B$$

Bagaimana dengan $B^4$? Bentuk $B^4$ adalah $B^3 \times B = B \times B = B$. Pola ini berulang terus tanpa henti untuk setiap pangkat bulat positif. Pangkat raksasa seperti $B^{2024}$ atau $B^{2025}$ pada soal sebenarnya hanyalah rantai pengulangan dari operasi $B \times B = B$.

Kesimpulannya:

$$B^{2024} = B$$

$$B^{2025} = B$$