Trik Jalan Tol Pecahan Bentuk Akar
Anti-Panik Ketemu Akar di Bawah
Pecahan yang memiliki akar di bagian penyebut (bawah) dapat dirapikan dengan mengalikannya menggunakan pecahan bernilai 1 yang disebut sekawan.
Akar di penyebut itu ibarat jalanan berlubang yang bikin perhitungan berikutnya tersendat. Sebelum kita mengolahnya lebih jauh, jalannya harus kita ratakan dulu lewat proses yang namanya merasionalkan.
Kuncinya sederhana: kenali pasangan sekawan dari penyebutnya cukup dengan membalik tanda operasinya di tengah.
Jika penyebutnya $\sqrt{3} - 1$, maka sekawannya adalah $\sqrt{3} + 1$.
Begitu pula sebaliknya, jika penyebutnya $\sqrt{3} + 1$, maka sekawannya adalah $\sqrt{3} - 1$.
Ketika pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk yang sama persis, yaitu $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$, pecahan pengali ini bernilai $1$. Mengalikan sesuatu dengan $1$ tidak akan mengubah nilainya sedikit pun, melainkan hanya mendandani bentuknya agar bebas dari akar di bagian bawah.
Jalan Tol Perkalian Sekawan
Perkalian dua bentuk sekawan $(a - b)(a + b)$ akan selalu menghasilkan $a^2 - b^2$, menghilangkan akarnya seketika.
Kalau mengalikan secara manual lewat jalan kampung (kali pelangi satu per satu), kamu harus menjabarkan empat suku dan rawan keliru tanda. Lewat jalan tol, kita memanfaatkan pola identitas aljabar: suku silang positif dan negatif di tengahnya saling menghabisi hingga habis tak bersisa.
Mari kita terapkan pola jalan tol ini pada penyebut pecahan $x$ pada soal:
$$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$$
Akarnya langsung lenyap. Sekarang kita rapikan pembilang dan penyebut pecahan $x$:
$$x = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$
Dengan cara yang sama persis pada pecahan $y$:
$$y = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$
Berapakah hasil dari perkalian $(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})$ jika menggunakan jalan tol?
- 9
- 5
- \sqrt{5}
- 5 - 2\sqrt{14}
Jawaban: 5
Dengan pola jalan tol selisih dua kuadrat $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, maka $(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$. Opsi A keliru karena menjumlahkan $7+2$. Opsi C keliru karena akar tidak dihilangkan. Opsi D keliru karena menganggapnya bentuk kuadrat sempurna $(a-b)^2$.
Menghitung hasil kali bentuk sekawan memakai pola selisih kuadrat
Membongkar Kuadrat yang Mengintimidasi
Bentuk $x^2 - y^2$ selalu bisa dibongkar menjadi $(x+y)(x-y)$ agar tidak perlu mengkuadratkan angka yang rumit.
Jangan masuk ke jalan kampung dengan menghitung $(2 + \sqrt{3})^2$ dan $(2 - \sqrt{3})^2$ secara terpisah lalu mengurangkannya. Balik pola jalan tol yang sudah kita pelajari: selisih dua kuadrat selalu bisa dipecah menjadi penjumlahan dikali pengurangan.
Coba perhatikan betapa ringkasnya ketika nilai $x$ dan $y$ yang sudah rapi dimasukkan ke pola ini:
Penjumlahan ($x + y$): $(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$ (akar saling meniadakan).
Pengurangan ($x - y$): $(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (angka bulat saling meniadakan).
Tinggal kita kalikan kedua hasil ini:
$$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (4)(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$$
Hasil inilah yang membawa kita tepat ke Opsi C.
Jika diketahui p = 5 + \sqrt{2} dan q = 5 - \sqrt{2}, tentukan kebenaran tiap pernyataan berikut!
- Nilai dari p + q adalah 10. — Benar
- Nilai dari p^2 - q^2 dapat dicari dengan mengalikan (p + q) dan (p - q). — Benar
- Nilai dari p^2 - q^2 adalah 100. — Salah
Pernyataan 1 benar karena $(5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 10$ (akar saling meniadakan). Pernyataan 2 benar karena merupakan identitas selisih dua kuadrat $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$. Pernyataan 3 salah karena $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) = 10 \times 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$, bukan $10^2 = 100$.
Menerapkan pemfaktoran selisih dua kuadrat pada bentuk aljabar sederhana