Trik Bundling Kombinatorika
Membangun Cabang Makro
Mengelompokkan objek yang berdampingan menjadi satu paket mempermudah perhitungan susunan dasar.
Ketika ada syarat bahwa $2$ orang tertentu harus selalu berdampingan saat berfoto, cara paling intuitif untuk memikirkannya adalah dengan memasukkan kedua orang tersebut ke dalam satu "karung" atau paket imajiner yang sama. Teknik ini dikenal sebagai metode bundling.
Dengan metode ini, kedua orang tersebut sekarang kita perlakukan seolah-olah menjadi $1$ objek tunggal. Karena total awal ada $7$ orang, maka setelah $2$ orang diikat menjadi $1$ paket, jumlah objek yang akan disusun berpindah menjadi:
Yaitu $5$ orang yang posisinya bebas, ditambah $1$ paket gabungan. Banyaknya cara menyusun $6$ objek berbeda ini dapat dihitung dengan faktorial ($n!$):
Bayangkan perhitungan $720$ susunan ini sebagai Cabang Makro (cabang utama) pada sebuah pohon cabang keputusan. Angka $720$ susunan ini menggambarkan semua kemungkinan letak paket dan lima orang lainnya di atas barisan foto.
Membongkar Isi Paket
Objek di dalam paket masih bisa bertukar posisi satu sama lain.
Banyak orang tergoda untuk berhenti di angka $720$ (Opsi D), seolah-olah susunan foto sudah selesai dihitung. Namun, anggapan ini memperlakukan paket tersebut sebagai benda mati yang kaku. Padahal, jika kita mengambil SATU saja dari $720$ cabang makro tadi—misalnya saat paket berada di posisi paling kiri barisan—karung itu masih memiliki dinamika di dalamnya.
Di dalam paket tersebut terdapat dua individu nyata, sebut saja Orang A dan Orang B. Mereka berdua dapat saling bertukar posisi: Orang A di kiri dan Orang B di kanan ($A-B$), atau Orang B di kiri dan Orang A di kanan ($B-A$).
Banyaknya variasi letak objek di dalam paket ini disebut sebagai permutasi internal. Karena di dalam paket terdapat $2$ orang, variasinya dihitung dengan:
Variasi internal ini merupakan Cabang Mikro yang tumbuh di ujung setiap cabang makro. Menganggap paket ini kaku dan tidak bisa bertukar tempat adalah alasan mengapa jawaban $720$ (Opsi D) belum tepat.
Dalam sebuah antrean, 3 sahabat (Andi, Budi, dan Cici) berjanji harus terus berdempetan dan masuk dalam satu 'paket'. Berapa banyak variasi posisi mereka bertiga saat berada TEPAT DI DALAM paket tersebut?
- 1 cara
- 3 cara
- 3! = 6 cara
- 2! = 2 cara
Jawaban: 3! = 6 cara
Jawaban benar adalah C (3! = 6 cara). Karena di dalam paket terdapat 3 orang (Andi, Budi, dan Cici), maka banyaknya variasi urutan posisi mereka di dalam paket adalah permutasi dari 3 objek, yaitu 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara. - Opsi A salah karena menganggap posisi anggota paket kaku dan tidak bisa bertukar tempat. - Opsi B salah karena hanya menghitung banyaknya orang tanpa menerapkan kaidah faktorial. - Opsi D salah karena terpaku pada angka 2! dari kasus 2 orang pada soal sebelumnya.
Banyaknya variasi letak objek di dalam paket ditentukan oleh aturan faktorial dari jumlah objek tersebut.
Total Cabang Keseluruhan
Total susunan kombinasi diperoleh dengan mengalikan susunan paket utama dengan variasi posisi internalnya.
Setiap $1$ cabang makro (dari total $720$ susunan luar) ternyata memiliki $2$ cabang mikro (posisi internal di dalam paket). Berdasarkan kaidah pencacahan dasar (aturan perkalian), total posisi foto secara keseluruhan adalah perkalian dari kedua tingkat cabang tersebut.
Perhitungan total susunannya menjadi:
Inilah alasan mengapa Opsi C (1440) adalah jawaban yang benar: posisi antarpaket diperhitungkan ($720$), dan posisi internal di dalam paket ($2$) juga diperhitungkan secara utuh.
Pola perhitungan berlapis (susunan luar dikalikan permutasi internal) ini berlaku luas pada berbagai soal kombinatorika, seperti menyusun buku berdasarkan kelompok mata pelajaran di rak atau mengatur tempat duduk keluarga yang ingin berdampingan di meja jamuan.
Empat buku berbeda (A, B, C, D) disusun di atas meja. Buku A dan B harus selalu berdampingan. Total ada 3 kelompok objek (1 paket [AB] + buku C + buku D). Tentukan kebenaran langkah perhitungan berikut!
- Susunan kelompok objeknya adalah 3! = 6 cara. — Benar
- Total susunan akhir dicari dengan menambahkan 3! dan 2! menjadi 8 cara. — Salah
- Pernyataan 1 BENAR: Buku A dan B diikat menjadi 1 paket [AB]. Bersama buku C dan buku D, total ada 3 objek mandiri yang disusun, sehingga banyaknya susunan kelompok adalah 3! = 6 cara. - Pernyataan 2 SALAH: Kaidah pencacahan untuk proses bertingkat/bercabang menggunakan aturan perkalian, bukan penjumlahan. Total susunan seharusnya adalah 3! x 2! = 6 x 2 = 12 cara.
Total susunan adalah perkalian antara susunan antar-kelompok dengan susunan di dalam kelompok (bundling).