Awas Terjebak Pola Awal: Membedah Deret
Mengurai Pola Pengambilan
Tidak semua urutan kejadian bisa langsung dimodelkan menjadi satu rumus deret dari awal hingga akhir.
Jika kita mendaftar banyak bola yang diambil pada setiap giliran lomba estafet:
Putaran 1: $2, 2, 2, 2$
Putaran 2: $3, 5, 7, 9$
Putaran 3: $11, 13, 15, 17$, dan seterusnya.
Perhatikan perubahan antar giliran: pada Putaran 1, nilainya konstan di angka $2$. Ketika beralih dari peserta ke-4 Putaran 1 (nilai $2$) ke peserta ke-1 Putaran 2 (nilai $3$), selisihnya hanya $+1$. Namun, tepat setelah lompatan tersebut, pertambahan antar peserta selalu konstan sebesar $+2$ (dari $3 \to 5 \to 7 \to 9 \dots$).
Kondisi ini mirip seperti membagi tagihan belanja: ada biaya tetap awal yang dipisahkan terlebih dahulu (Putaran 1), lalu sisanya merupakan cicilan berpola stabil yang dapat dihitung dengan rumus barisan umum (mulai Putaran 2).
Pola yang memenuhi syarat Barisan Aritmetika murni baru tercipta mulai Putaran 2, dengan suku pertama $a = 3$ dan beda antar giliran $b = 2$.
Menyusun Persamaan Total
Total keseluruhan adalah gabungan konstanta awal yang sudah dihitung dan ekspresi aljabar dari bagian deret yang berpola.
Kita pisahkan total bola ke dalam dua bagian: biaya tetap awal dari Putaran 1, dan akumulasi bola dari putaran kedua dan seterusnya.
Karena pada Putaran 1 terdapat $4$ orang peserta yang masing-masing mengambil $2$ bola, total bola putaran pertama adalah:
$$\text{Bola Putaran 1} = 4 \times 2 = 8 \text{ bola}$$
Dari informasi soal, total keseluruhan bola yang terkumpul adalah $216$ bola. Maka kerangka persamaannya dapat kita tuliskan:
$$\text{Total Keseluruhan} = \text{Putaran 1} + S_n$$
$$216 = 8 + S_n$$
Kita kurangkan $8$ dari kedua ruas untuk mengisolasi nilai deret yang berpola teratur:
$$S_n = 216 - 8 = 208$$
Sekarang, kita turunkan rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika ($S_n$) dengan nilai awal $a = 3$ dan beda $b = 2$:
$$S_n = \frac{n}{2} \left[2a + (n - 1)b\right]$$
Substitusikan parameter $a = 3$ dan $b = 2$ secara runtut:
$$S_n = \frac{n}{2} \left[2(3) + (n - 1)2\right]$$
$$S_n = \frac{n}{2} \left[6 + 2n - 2\right]$$
$$S_n = \frac{n}{2} \left[2n + 4\right]$$
Faktorkan angka $2$ di dalam tanda kurung untuk membagi penyebut:
$$S_n = \frac{n}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2}(n + 2) = n(n + 2) = n^2 + 2n$$
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Penyederhanaan rumus deret yang disamakan dengan sisa total membentuk persamaan kuadrat yang harus difaktorkan untuk mencari banyak suku.
Dari penurunan sebelumnya, kita telah memperoleh ekspresi jumlah giliran $S_n = n^2 + 2n$ dan nilai target $S_n = 208$. Kita samakan kedua bentuk ini:
$$n^2 + 2n = 208$$
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara aljabar formal, kita kurangkan $208$ dari kedua ruas sehingga ruas kanan bernilai nol:
$$n^2 + 2n - 208 = 0$$
Persamaan kuadrat ini memiliki bentuk umum $A n^2 + B n + C = 0$ dengan $A = 1$, $B = 2$, dan $C = -208$. Kita mencari dua bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi:
Hasil kali: $p \times q = -208$
Jumlah: $p + q = 2$
Faktor dari $208$ yang memiliki selisih $2$ adalah $16$ dan $13$. Karena jumlahnya positif $+2$, kita pilih pasangan $+16$ dan $-13$:
$$(n + 16)(n - 13) = 0$$
Dari pemfaktoran tersebut, kita peroleh dua pembuat nol:
$n + 16 = 0 \implies n = -16$
$n - 13 = 0 \implies n = 13$
Artinya, terdapat tepat $13$ kali pengambilan bola teratur yang terjadi setelah Putaran 1 berakhir.